Question

Urgente! Alguien que me ayude por favor .. Gracias

Answer 1

Iré detallando la explicación a cada ejercicio, pero si tienes alguna otra duda, con gusto la puedo aclarar. Hay mucha letra al principio, pero es para aclarar qué se plantea en cada procedimiento.

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1. Recordemos que para encontrar los extremos relativos de una función podemos utilizar el criterio de la primera derivada.

a) $f(x) = -x^2 + 2x - 3$

Puntos críticos

$f'(x) = -2x + 2$

$0 = -2x + 2$

$2x = 2$

$x = 1$

Comportamiento de la función (*para este paso voy a tomar valores de x cercanos a los puntos críticos obtenidos)

Para x = 0

• $f'(0) = -2(0) + 2 = 2$. El signo del resultado es positivo.

Para x = 2

• $f'(2) = -2(2) + 2 = -2$. El signo del resultado es negativo.

Vamos a analizar a f'(x) dentro de los intervalos (-∞, 1) y (1, ∞) porque se encuentra justo antes y después de nuestro punto crítico.

• x = 0 se encuentra dentro de (-∞, 1). Sabemos que f'(0) = 2; su signo es positivo. Por lo tanto, la función original (la función que derivamos) crece en el intervalo (-∞, 1).
• x = 2 se encuentra dentro de (1, ∞). Sabemos que f'(2) = -2; su signo es negativo. Por lo tanto, la función original decrece en el intervalo (1, ∞).

Ahora analizamos el punto crítico x = 1. De x = 0 a x = 2, la función sufre un crecimiento y luego decrece. Por lo tanto, x = 1 es un máximo relativo.

b) $g(x) = 3x^3+2x^2$

Puntos críticos

$g'(x) = 9x^2+4x$

$0 = 9x^2+4x$

$0 = x(9x+4)$

$x_1 = 0; x_2 = -\frac{4}{9}$

Comportamiento de la función (en este caso, tenemos que utilizar tres valores, uno cercano a x = -4/9, uno que se encuentre entre -4/9 y 0, y uno cercano a x = 0).

Para x = -1

• $g'(-1) = 9(-1)^2+4(-1) = 5$. El signo del resultado es positivo.

Para x = -1/4

• $g'(-1/4) = 9(-1/4)^2+4(-1/4) = -7/16$. El signo del resultado es negativo.

Para x = 1

• $g'(1) = 9(1)^2+4(1) = 13$. El signo del resultado es positivo.

Ahora sigue el análisis. En este caso, tomares tres intervalos: (-∞, -4/9), (-4/9, 0) y (0, ∞).

• x = -1 se encuentra dentro del intervalo (-∞, -4/9). Sabemos que g'(-1) = 5; su signo es positivo. Por tanto, la función original crece en el intervalo (-∞, -4/9).
• x = -1/4 se encuentra dentro del intervalo (-4/9, 0). Sabemos que g'(-1/4) = -7/16; su signo es negativo. Por lo tanto, la función original decrece en el intervalo (-4/9, 0).
• x = 1 se encuentra dentro del intervalo (1, ∞). Sabemos que g'(1) = 13; su signo es positivo. Por lo tanto, la función original crece en el intervalo (1, ∞).

Ahora los puntos críticos. Entre x = -1 y x = -1/4, la función crece y luego decrece. Por lo tanto, x = -4/9, que se encuentra entre esos dos puntos, es un máximo relativo. Por otro lado, entre x = -1/4 y x = 1, la función decrece y después crece. Por lo tanto, x = 0 es un mínimo relativo.

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2. Para estos ejercicios, simplemente ordenamos las derivadas de f(x) y g(x) como se solicitan:

$f(x) = 3x^3 - 7x^2 + 2x -5$

$g(x) = x^2 - 7x + 2$

$f'(x) = 9x^2 - 14x + 2$

$g'(x) = 2x - 7$

a) $f'(x) + g'(x) = (9x^2 - 14x + 2) + (2x - 7) = 9x^2 - 12 x - 5$

b) $f'(x) - g'(x) = (9x^2 - 14x + 2) - (2x - 7) = 9x^2 - 16 x + 9$

c) $f'(x) * g'(x) = (9x^2 - 14x + 2)(2x - 7) = 18x^3 - 91x^2 + 102x - 14$

d) $\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{9x^2 - 14x + 2}{2x-7} = \frac{253}{4(2x-7)} + \frac{9x}{2} + \frac{35}{4}$ (*aplicando división larga obtienes el último resultado que escribí).

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3. Aquí simplemente es aplicar leyes de los logaritmos. Para resolverlos, lo más sencillo es llevar a los logaritmos como exponentes de su misma base.

a) $log_3(x - 2) + log_3(5) = log_3(27)$

$log_3(5(x - 2)) = log_3(27)$

$3^{log_3(5(x - 2))} = 3^{log_3(27)}$

$5(x - 2) = 27$

$(x - 2) = \frac{27}{5}$

$x = \frac{27}{5} + 2$

$x = \frac{37}{5}$

b) $log_5(x - 2) - log_5(2x + 1) = log_5(3)$

$log_5(\frac{x - 2}{2x + 1}) = log_5(3)$

$5^{log_5(\frac{x-2}{2x+1})} = 5^{log_5(3)}$

$\frac{x - 2}{2x + 1} = 3$

$(x - 2) = 3(2x+1)$

$x - 2 = 6x + 3$

$-5x = 5$

$x = -1$

En este caso, no existe una solución para x en términos de números reales. Si aplicas x = -1 al argumento de la ecuación del lado izquierdo en el primer logaritmo, que es $log_5(x - 2)$, resultaría ser $log_5(-3)$, pero no existen logaritmos negativos en términos reales, por lo cuál se encuentra indefinido.

c) $4(log_2(x)) = log_2(16)$

$(log_2(x^4)) = log_2(16)$

$2^{(log_2(x^4))} = 2^{log_2(16)}$

$x^4 = 16$

$x = \sqrt[4]{16}$

$x = 2$

Espero haberte ayudado. Saludos y suerte.