la media aritmetica de los terminos de una progresión aritmética es 43. sabiendo que la diferencia entre el ultimo y el primero de los terminos es 80 ¿cual es el primer termino de la progresion?
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Respuestas
El primer término de la progresión aritmética es 3
Una progresión aritmética: es una sucesión de números que comienza en un termino a1 y cuyo siguiente termino se obtiene sumando al anterior por una constante llamada diferencia denotada con la letra "d"
El nesimo termino de una progresión aritmética es:
an = a1 + d*(n-1)
La suma de los términos de una progresión aritmética es:
∑(a1 + d*(j-1)) con j desde 1 hasta n
Usando la linealidad de la suma:
∑a1 + d*∑j - d*∑1 con j desde 1 hasta n
n*a1 + d*∑j - n*d con j desde 1 hasta n
Usando la ecuación de suma de los terminos desde 1 hasta n:
n*a1 + d*(n)*(n+1)/2 - n*d
La media sera dividir todo entre la cantidad de elementos que es "n"
media = a1 + d*(n+1)/2 - d
La media aritmética de los términos es 43
a1 + d*(n+1)/2 - d = 43
a1 + d*(n/2 + 1/2 - 1) = 43
a1 + d*(n/2 - 1/2) = 43 (**)
La diferencia entre el ultimo y el primero de los términos es 80
a1 + d*(n-1) - a1 = 80
d*(n-1) = 80
Dividimos entre dos a ambos lados:
d/2*(n-1) 40
Propiedad distributiva:
d*(n/2 - 1/2 ) = 40
Sustituimos en (**)
a1 + 40 = 43
a1 = 43 - 40 = 3