Se requiere construir un contenedor abierto (sin tapa) de base cuadrada determinar las dimensiones con las cuales el volumen sea de 50m^2 y la cantidad de placa sea minima
Respuestas
Las dimensiones de la caja deben ser: Una base cuadrada de lado ³√100 = 4.6415 m y una altura de 50/³√10.000 = 2.3207 m
Si observamos una la imagen podemos ver la situación planteada.
El area de la caja (no tiene tapa) es: el area de un paralelepípedo sin tapa de base cuadrada que es:
A = x² + 4xh
y el volumen es: x²*y
Luego quiero minimizar la cantidad de placa: se quiere minimizar el area, sujetado a que el volumen sea 50 m²
Minimizar x² + 4xy
S.A x²*y = 50 m³ ⇒ y = 50/x²
Sustituyo en la ecuación objetivo:
A = x² + 4x*(50/x²) = x² + 200/x
Derivamos para encontrar los puntos criticos:
A' = 2x -200/x²
Sumando las fracciones
A' = (2x³ - 200)/x²
Igualamos a cero:
2x³ - 200 = 0
2x³ = 200
x = 200/2 = 100
x = ³√100 = 4.6415 m
Luego para comprar que es un mínimo calculamos la segunda derivada y evaluamos en el punto:
A'' = ((2x³ - 200)/x²)' = (6x²*x² - 2x*(2x³-200))/x⁴ = (6x⁴- 4x⁴+400x)/x⁴ = (2x⁴+ 400x)/x⁴
Como lo que nos importa es el signo y el denominador es positivo solo hay que ver el signo del numerador
2x⁴+ 400x = x(2x³ + 400)
Evaluando en el punto:
³√100(2(³√100)³ + 400) = ³√100*(2*100 + 400) = ³√100*600 > 0
Por criterio de la segunda derivada es un mínimo
Si x = ³√100 sustituyendo tenemos que:
y = 50/( ³√100)² = 50/³√10.000 = 2.3207 m