Question

Resuelva los paréntesis y halle el límite de las siguientes sucesiones, diga cuales son

convergentes y cuales divergentes.​

Answer 1

Ambas sucesiones convergen la primera a 0.4 y la segunda a 0.

Para saber si una sucesión converge o diverge hay que ver si su limite cuando n tiende a infinito de la sucesión se aproxima a un valor numérico.

El término general de ambos ejercicios es una fracción algebraica: procedemos a calcular los limites.

a) $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n^{2}-1)*(n+1) }{5n^{3}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{(2n^{3} + 2n^{2}-n-1)}{5n^{3}}$

Dividimos arriba y abajo entre n³:

$= \lim_{n \to \infty} \frac{(2n^{3}/n^{3} + 2n^{2}/n^{3}-n/n^{3}-1/n^{3})}{5n^{3}/n^{3}}$

Simplificando:

$\lim_{n \to \infty} \frac{(2 + 2/n-1/n^{2}-1/n^{3})}{5}$

Luego resolviendo sabemos que limite cuando n tiene de infinito de 1/nᵃ para algún a real positivo es 0

$\lim_{n \to \infty} \frac{(2 + 2/n-1/n^{2}-1/n^{3})}{5} =\frac{(2 + 0-0-0)}{5} = 2/5 = 0.4$

La sucesión converge a 0.4

b) $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)*(n+2) }{(n-1)*n^{2}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + 2n + n + 2}{n^{3}- n^{2}} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}+ 3n + 2}{n^{3}- n^{2}}$

Dividimos arriba y abajo entre n³:

$= lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}/n^{3}+ 3n/n^{3} + 2/n^{3}}{n^{3}/n^{3}- n^{2}/n^{3}}$

Simplificando:

$= lim_{n \to \infty} \frac{1/n+ 3/n^{2} + 2/n^{3}}{1-1/n}$

Luego resolviendo sabemos que limite cuando n tiene de infinito de 1/nᵃ para algún a real positivo es 0

$lim_{n \to \infty} \frac{1/n+ 3/n^{2} + 2/n^{3}}{1-1/n} =\frac{0 + 0 + 0}{1-0} = 0/1 = 0$

La sucesión converge a 0