Question

Calcular la Primera Derivada de las Siguientes Funciones

f(x)=2x/∜(x^4+4)


y=(3/4-〖4x〗^3 )^2 (4/5 x^2+3)^2




Calcular la derivada implícita de la Siguiente función

√x+√y=9


Resolver la derivada de orden superior solicitada.

f(x)= e^(-4x^2 )
f^'' (x)=?


Resolver el límite por el método de L`Hoppital

lim┬(x→0)⁡〖(e^x-e^(-x) )/senx〗

me pueden ayudar con estos ejercicios

Answer 1

Tenemos que:

• f'(x)=(2x/∜(x⁴+4))' = $\frac{2*\sqrt[4]{x^{4}+4} - \frac{4x^{3}*2x}{4*\sqrt[4]{(x^{4}+4)^{3}}}}{\sqrt{x^{4}+4}}$

• Si √x+√y=9 entonces y' = √x/√y

• Si $f(x) = e^{-4x^{2}}$ entonces$f''(x) = -8*e^{-4x^{2}} + 64x^{2}e^{-4x^{2}}$

• $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{sen(x)} = 2$

Propiedades:

Derivada de una potencia: (xⁿ)' = n*xⁿ⁻¹

Derivada de un cociente: f(x)/g(x) = (f'(x)*g(x) - g'(x)*f(x))/(g(x))²

Regla de la cadena: f(g(x)) = f'(g(x))*g'(x)

Derivada de la suma: (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

Derivada de la exponencial: (e×)' = e×

Resolvemos:

f'(x)=(2x/∜(x⁴+4))'

Aplicando derivada del cociente y de la potencia

 = ((2x)'*∜(x⁴+4)- (∜(x⁴+4))'*(2x))/(∜(x⁴+4))²

=  (2*∜(x⁴+4)- (1/4)*∜((x⁴+4)⁻³)*(x⁴+4)'*(2x)/(√(x⁴+4))

= $\frac{2*\sqrt[4]{x^{4}+4} - \frac{4x^{3}*2x}{4*\sqrt[4]{(x^{4}+4)^{3}}}}{\sqrt{x^{4}+4}}$

Derivada implicita:

√x+√y=9

Derivo a ambos lados:

(√x+√y)'=(9)'  

Usando deriva de la suma de funciones

(√x)'+(√y)'= 0

1/(2√x)  + 1/(2√y)*y' = 0

1/(2√y)*y' = - 1/(2√x)

√y*y' = - √x

y' = √x/√y

Derivada de orden superior:

$f(x) = e^{-4x^{2}}$

$(f(x))' = (e^{-4x^{2}})'$

Usando regla de la cadena:

$(f(x))' = e^{-4x^{2}}*(-4x^{2})'$

= $(f(x))' = e^{-4x^{2}}*(-8x) = - 8xe^{-4x^{2}}$

Volvemos a derivar aplicamos derivada del producto

$f''(x) = (-8xe^{-4x^{2}})' = -8*(xe^{-4x^{2}}) = -8*(e^{-4x^{2}} + (e^{-4x^{2}})'*x)$

$= -8*(e^{-4x^{2}} + - 8xe^{-4x^{2}}*x)$

=  $-8*e^{-4x^{2}} + 64x^{2}e^{-4x^{2}}$

Limite por L'Hopital: si tengo una indeterminacion 0/0 o ∞/∞ en un limite el resultado sera igual a la derivada del numerador entre la derivada del denominador.

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{sen(x)}$

Tenemos una indeterminación 0/0

L'H = $\lim_{x \to 0} \frac{(e^{x}-e^{-x})'}{(sen(x))'} = \lim_{x \to 0} \frac{((e^{x})'-(e^{-x})')}{cos(x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{(e^{x}-e^{-x}*(-x)')}{cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^{x}+e^{-x})}{cos(x)} = \frac{e^{0}+e^{0}}{cos(0)}= \frac{1 + 1}{1}= 2$