Question

Calcula el volumen de la región acotada por las curvas x = y^2-2 y x = 6-y^2 al girarla alrededor de la recta y=2

Answer 1

El volumen del sólido generado al girar la región alrededor de la recta y = 2   es (256/3)π unidades cúbicas.

Explicación paso a paso:

En la figura se observa la gráfica de la región plana acotada por las curvas dadas y, en particular, se sombrea la porción que genera el sólido de revolución.

Vamos a resolver el problema usando el método de anillos para el cálculo de volumen de sólidos de revolución:  

$V=2\pi \int\limits^a_b {p_{(y)}h_{(y)} \, dy$  

donde:  

(a, b) es el intervalo que abarca la región plana en el eje de integración  

p₍y₎ es la distancia del rectángulo genérico al eje de giro y representa el radio promedio del anillo de revolución que se genera.  

h₍y₎ es la altura del rectángulo genérico y representa la altura promedio del anillo de revolución que se genera.  

dy es el espesor del anillo de revolución que se genera.  

En el caso que nos ocupa, el volumen del sólido viene dado por:  

$V=2\pi \int\limits^2_{-2} (2-y)((6-y^{2})-(y^{2}-2))\, dy$ ⇒  

$V=2\pi \int\limits^2_{-2} (2-y)(8-2y^{2})\, dy$ ⇒  

$V=2\pi \int\limits^2_{-2} (16-4 y^{2}-8y+2y^{3})\, dy$ ⇒  

$V=2\pi\left[16y-\frac{4y^{3}}{3}-4y^{2}+\frac{y^{4}}{2}\right]\limits^2_{-2} =\frac{256}{3}\pi$ unid³