Question

Se desea construir una caja sin tapa, de base cuadrangular, a partir de una lámina cuadrada de 60 unidades de longitud de lado, recortando cuadrados de sus esquinas y doblando las pestañas sobrantes para que sean su altura. Calcular las dimensiones de la caja de mayor volumen.

Answer 1

Vamos a recaudar datos del dibujo.

1) Llamemos "x" a la dimensión del cuadrado que recortaremos a la lámina cuadrada.

2) La longitud del lado de la lámina cuadrada es de 60 unidades

Vamos a analizar el dibujo.

3) Al recortar las esquinas y construir la caja se estará formado un prima cuadrangular cuyo volumen se modela con la ecuación V=l²h donde; "l" es el lado y "h" la altura

4) Vemos que el lado del prisma que se formará está dado por "l=60-2x" ya que a las 60 unidades que tenemos le vamos a recortar dos cuadrados de lado "x".

5) El mismo problema nos dice que "x" será la altura de nuestra caja entonces "h=x".

Teniendo todo esto en cuenta podemos encontrar una expresión del volumen de la caja en función de la variable "x".

$V= {l}^{2} h$

Pero

$l=60-2x \\ </p><p>h=x$

Entonces

$V(x)= {(60-2x)}^{2} (x)$

Vamos a desarrollar la expresión

$V(x)=[ {(60)}^{2} -2(60)(2x)+ {(2x)}^{2} ]x \\ </p><p>V(x)=[3600 -240x+ {4x}^{2} ]x \\ </p><p>V(x)=3600x-240 {x}^{2} +4 {x}^{3}$

Ahora debemos de maximizar la función, es decir encontrar los valores críticos de la función y ver para en qué valores de "x" la función tiene un máximo.

Para realizar eso dejemos de recordar el criterio de la primer y segunda derivada.

Teoría: Para que una función tenga un valor máximo se debe cumplir uno de estos puntos.

1) Que al analizar un intervalo que contenga al punto crítico la función pase de ser creciente para valores menores al punto y decreciente para valores mayores. (Criterio de la primer derivada)

2) Que al evaluar el punto crítico en la segunda derivada nos de como resultado un valor negativo, ya que nos indicaría que la concavidad de la función en ese punto esta orientada hacia abajo.

(Criterio de la segunda derivada)

Nota: Los puntos críticos de una función se encuentran igualando la primer derivada a cero, y calculando los valores para los cuales la primer y segunda derivada no existen.

$V(x)=3600x-240 {x}^{2}+4 {x}^{3}$

Derivando

$\frac{d}{dx} ( {x}^{n} ) = n( {x}^{n - 1} )$

$V'(x)=3600-240(2)x+4(3){x}^{2} \\ </p><p>V'(x)=3600-480x+12 {x}^{2} \\ </p><p>V'(x)=3600-480x+12 {x}^{2}$

Calculando valores críticos

$0=3600-480x+12 {x}^{2}$

Resolviendo la ecuación.

$0=12(300-40x+ {x}^{2} ) \\ </p><p>0=300-40x+ {x}^{2} \\ </p><p>0=(x-10)(x-30)$

Aplicando el teorema del factor nulo.

$x-10=0→ x=10 \\ </p><p>x-30=0→ x=30$

Ya tenemos dos puntos críticos sólo nos hace falta ver cuál de ellos máximiza la función, para ello vamos a usar el criterio de la segunda derivada.

$V"(x)=-480+24x$

Vamos a evaluar y ver cuál de los dos puntos nos arroja un máximo y cuál un mínimo.

$V"(10)=-480+24(10) \\ </p><p>V"(10)=-480+240 \\ </p><p>V"(10)=-240$

Cómo salió negativo el valor nos indica que se trata de un máximo.

$V"(30)=-480+24(30) \\ </p><p>V"(30)=-480+720 \\ </p><p>V"(30)=240$

Cómo salió positivo el valor nos indica que se trata de un valor mínimo.

Entonces tomamos que el valor de "x" que máximiza el volumen de la caja es "x=10"

Ahora para finalizar el problema debemos de calcular las dimensiones de la caja de mayor volumen.

Recordando.

$V= {l}^{2} h \\ l=60-2x \\ </p><p>h=x$

Y que "x=10"

$l=60-2(10) \\ </p><p>l=60-20 \\ </p><p>l=40 \\ </p><p>h=10 \\ </p><p>V=(4 {0)}^{2} (10) \\ </p><p>V=16,000 {u}^{3}$

Esas serían las respuestas.

Espero haberte ayudado