Question

un fabricante de cajas desea construir una caja cerrada que tenga un volumen de 288cm cubicos, y cuya base de forma rectangular tenga el largo igual al triple de su ancho. hallar las dimensiones de la caja construida con la minima cantidad de material

Answer 1

un fabricante de cajas desea construir una caja cerrada que tenga un volumen de 288cm cubicos, y cuya base de forma rectangular tenga el largo igual al triple de su ancho

Las dimensiones son:  

Ancho =  4cm³

Base= 12 cm³

Altura  = 6cm³

Optimizacion:

x : es el ancho  

3x: es la base  

La altura debe ser 288/(x3x) = 288/(3·x²) = 96/x²

El área es:  

A = 2ancho *alto+ 2ancho* base+ 2alto*base =  

A=2*96/x + 2*3x²+ 2*288/x

A =  6·x²+ (192+576)/x  

A= 6x²+ 768/x  

Minimizar el Área que es la función objetivo. El mínimo se ha de corresponder con un cero en la derivada:  

A´ = 12x - 768/x²

12·x³ - 768 = 0  

x³ = 768 / 12

x= ∛64  

x = 4  

Las dimensiones son:  

Ancho =  4cm³

Base= 12 cm³

Altura  = 6cm³

Answer 2

Las dimensiones de la caja de base triangular con la mínima cantidad de material es:

• Largo = 12 cm
• Ancho = 4 cm
• Alto = 6 cm

¿Cuál es el área y volumen de un prisma rectangular?

El área del prisma la suma de las áreas laterales y las bases.

A = 2AL + 2Al+ 2Ab

Siendo;

• AL = a × h
• Al = b × h
• Ab = a × b

Sustituir;

A = 2(a × h) + 2(b × h) + 2(a × b)

El volumen del prisma es el producto del área de la base por la altura.

V = Ab × h

Sustituir;

V = (a × b) × h

¿Cuáles son las dimensiones de la caja construida con la mínima cantidad de material?

Siendo;

V = 288 cm

a = 3b

Sustituir;

288 = 3b × b × h

288 = 3b² × h

Despejar h;

$h =\frac{288}{3b^{2} } \\\\h =\frac{96}{b^{2} }$

Sustituir a en A;

A = 2(a × h) + 2(b × h) + 2(a × b)

A = 2(3bh) + 2bh + 2(3b²)

A = 6bh + 2bh + 6b²

A = 8bh + 6 b²

Sustituir h en A;

$A = 8b(\frac{96}{b^{2} })+6b^{2} \\\\A = \frac{768}{b}+6b^{2}$

Aplicar derivada;

$A'= - \frac{768}{b^{2} }+6(2)b \\\\A'= - \frac{768}{b^{2} }+12b$

Igualar a cero;

12b³ - 768 = 0

b³ = 768/12

b³ = 64

b = ∛64

b = 4 cm

Sustituir;

a  = 3b

a = 3(4)

a = 12 cm

$h =\frac{96}{4^{2} }$

h = 6 cm

Puedes ver más sobre optimización aquí: https://brainly.lat/tarea/4425349