Question

Para cada uno de loa siguentes literales, hallar una ecuación para la elipse que satisfaga las condiciones dadas y gráficas.

A. Centro en C=(0,0), un foco en F1=(0,2) y un vértice en V1=(0,3).

B. Centro en C=(-3,4), eje mayor de longitud 8, eje menor de longitud 6 y eje mayor paralelo al eje x.
C. Vértice en V=(3,-2), V1=(13,-2), focos en F=(4,-2) y F1=(12,-2).
D. Centro en C=(1,2), eje mayor paralelo al eje y Pss a por los puntos A=(1,6) y B=(3,2).
E. Vértice en V=(0,8), V2=(0,-8) y excentricidad igual a 1/2.

Answer 1

Ecuaciones Canónicas de la Elipse:

Eje mayor horizontal: $\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

Eje mayor vertical: $\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}=1$

a = distancia del centro (C) a los vértices (V) sobre el eje mayor

b = distancia del centro (C) a los vértices (A) sobre el eje menor

c = distancia del centro (C) a los focos (F) sobre el eje mayor

C: (h, k) excentricidad = e = c/a

Relación entre distancias: a² = b² + c²

Explicación paso a paso:

A. Centro en C=(0,0), un foco en F1=(0,2) y un vértice en V1=(0,3).  

Dada que la coordenada x de los puntos es fija, significa que el eje mayor es vertical.  

Conocemos: h = 0, k = 0, a = 3, c = 2

Para la ecuación canónica hace falta conocer b, la cual se obtiene a partir de a y c:

a² = b² + c² ⇒ (3)² = b² + (2)² ⇒ b = √5

Eje mayor vertical: $\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{9}=1$

B. Centro en C=(-3,4), eje mayor de longitud 8, eje menor de longitud 6 y eje mayor paralelo al eje x.  

Conocemos: h = -3, k = 4

Eje mayor = 2a = 8 ⇒ a = 4

Eje menor = 2b = 6 ⇒ b = 3

Eje mayor horizontal: $\frac{(x+3)^{2}}{16}+\frac{(y-4)^{2}}{9}=1$

C. Vértice en V=(3,-2), V1=(13,-2), focos en F=(4,-2) y F1=(12,-2).  

Dada que la coordenada y de los puntos es fija, significa que el eje mayor es horizontal.  

Conocemos:  

2a = 13 - 3 = 10 ⇒ a = 5

2c = 12 - 4= 8 ⇒ c = 4

El centro seria el punto medio entre V y V1: C (8, -2)

Para la ecuación canónica hace falta conocer b, la cual se obtiene a partir de a y c:

a² = b² + c² ⇒ (5)² = b² + (4)² ⇒ b = 3

Eje mayor horizontal: $\frac{(x-8)^{2}}{25}+\frac{(y+2)^{2}}{9}=1$

D. Centro en C=(1,2), eje mayor paralelo al eje y Pss a por los puntos A=(1,6) y B=(3,2).  

Conocemos: h = 1, k = 2, dos puntos de coordenadas (x, y) por donde pasa la gráfica. Sustituimos esos valores en la ecuación canónica y hallamos a y b:

Eje mayor vertical:  

Pasa por A (1, 6): $\frac{(1-1)^{2}}{b^{2}}+\frac{(6-2)^{2}}{a^{2}}=1$ ⇒ a = 4

Pasa por B (3, 2): $\frac{(3-1)^{2}}{b^{2}}+\frac{(2-2)^{2}}{a^{2}}=1$ ⇒ b = 2

Eje mayor vertical: $\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{16}=1$

E. Vértice en V=(0,8), V2=(0,-8) y excentricidad igual a 1/2.  

Dada que la coordenada x de los puntos es fija, significa que el eje mayor es vertical.  

Conocemos:  

El centro seria el punto medio entre V y V2: C (0, 0)

La excentricidad es e = c/a = 1/2 ⇒ a = 2 ⇒ c = 1

Para la ecuación canónica hace falta conocer b, la cual se obtiene a partir de a y c:

a² = b² + c² ⇒ (2)² = b² + (1)² ⇒ b = √3

Eje mayor vertical: $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1$