hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x^2+y^2-8×+2y-19 en el punto (-7,9)
en la imagen fue el resultado que el profesor estaba explicando pero si necesito explicación denuedo paso a paso
Respuestas
Se determina la familia de rectas que pasan por un punto. Para este caso pasan por el punto (- 7, 9)
y - 9 = m (x + 7)
y = m (x + 7) + 9 = m x + 7 m + 9
Entre las infinitas rectas que pasa por el punto hay dos que son tangentes a la circunferencia.
Buscamos la intersección entre la recta y la circunferencia. Se presentan tres casos:
a) la recta es exterior a la circunferencia. En este caso la ecuación de segundo grado que determina los puntos de intersección no tiene raíces reales.
b) la recta intercepta a la circunferencia. En este caso la ecuación tiene dos raíces reales.
c) la recta es tangente a la circunferencia. En este caso la ecuación tiene una sola raíz.
Para que una ecuación de segundo grado tenga una raíz única, el discriminante de la ecuación debe ser nulo. Este es el caso que debemos aplicar. El discriminante nulo es una ecuación de segundo grado en m, pendiente de las dos rectas tangentes.
Reemplazamos la ecuación de la familia de rectas en la circunferencia:
x² + (m x + 7 m + 9)² - 8 x + 2 (m x + 7 m + 9) - 19 = 0
Después de quitar los paréntesis y ordenar los términos en potencias de x resulta:
x² (m² + 1) + x (14 m² + 20 m - 8) + (140 m 49 m² + 80) = 0
Es una ecuación de segundo grado en x
El discriminante es Δ = b² - 4 a c
Debe ser nulo para que la solución sea única.
b = (14 m² + 20 m - 8)
a = m² + 1
c = 49 m² + 140 m - 80
Δ = (14 m² + 20 m - 8)² - 4 (m² + 1) (49 m² + 140 m + 80) = 0
Quitamos paréntesis y cancelamos términos semejantes, queda:
340 m² + 880 m + 256 = 0
Resolvemos: no tiene raíces racionales.
m ≅ - 0,334; m = -2,254
Las rectas tangentes son:
y - 9 = - 0,334 (x + 7)
y - 9 = - 2,254 (x + 7)
Se adjunta dibujo con todos los elementos en escala adecuada para una mejor vista.
Mateo
