Question

Caso 1
Un community de una empresa canadiense realizó una encuesta en su página de Face, para saber cómo introducir su marca al país, pero no realizó bien el estudio de mercado, así que las personas no entendieron las preguntas y contestaron al azar.
Con base en el caso, calcula lo siguiente:
a) Probabilidad de obtener cinco aciertos.
b) Probabilidad de obtener algún acierto.
c) Probabilidad de obtener mínimo cinco aciertos.
Caso 2
Un conjunto de estudiantes crearon un grupo de Face para apoyarse en sus estudios bachillerato, el cual recibe 6 solicitudes al día para agregar miembros.
Con base en el caso, calcula lo siguiente:
La probabilidad de que reciba…
a) 4 solicitudes en un día.
b) mínimo 10 solicitudes en un día.
c) máximo 6 solicitudes en un día.
Caso 3
En la empresa de chocolates “Max” la media de producción de cajas de chocolates es de 38,000 cajas y se tiene una desviación estándar (o típica) de 3,000 cajas.
Con base en el caso, calcula lo siguiente:
a) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan 35,000 cajas exactamente?
b) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan 30,000 cajas?
2. Una vez calculado lo anterior, responde lo siguiente:
a)¿Qué tipo de distribución de probabilidad (binomial, normal, Poisson) utilizaste para cada caso?
b)Justifica la elección de la distribución de probabilidad utilizada en cada caso.
c)Argumenta en un párrafo de cinco renglones, la utilidad de la probabilidad en tu vida cotidiana.

Answer 1

Caso 1: El problema se distribuye binomial y obtenemos que:

P(X = 5) = 0.24609375

P(X ≥ 1) = 0.9990234

P(X ≥5) = 0.3769533125

Caso 2: La probabilidad de que reciba 4 solicitudes en un día es 0.133853, mínimo 10 solicitudes en un día 0.083924017 y máximo 6 solicitudes en un día 0,606302782

Caso 3: el problema se distribuye normal y obtenemos que:

P(X = 35.000) = P(X=30.000) = 0

Caso 1:

Para responder esta pregunta debemos saber cuantas preguntas tenia la encuesta, supondremos que la encuesta tenía 10 preguntas.

En probabilidad y estadística la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, que conociendo la probabilidad "p" de que un ensayo sea exitoso, entonces determina la probabilidad de que en "n" ensayos independientes ocurran  "x" exito.

La formula de probabilidad d una binomial es:

P(X =x) = n!/((n-x)!*x!)*p×*(1-p)ⁿ⁻ˣ

n = 10

Como responden al azar entonces la probabilidad de éxito es igual a la de fracaso

p = 0.5

a) Determinar la probabilidad de obtener 5 aciertos

P(X = 5) = 10!/((10-5)!5!)*0.5⁵*(0.5)¹⁰⁻⁵ = 0.24609375

b) De obtener algún acierto: es la probabilidad de que x ≥ 1

P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0)

P(X = 0) = 10!/((10-0)!0!)*0.5⁰*(0.5)¹⁰⁻⁰ = 0.00097656

P(X ≥ 1) = 1 - 0.00097656 = 0.9990234

C) mínimo 5 aciertos:

P(X ≥ 5) = 1 - p( X = 1) + p( X = 2) + p( X = 3) + p( X = 4) = 1 - P(X < 5)

P(X = 0) = 10!/((10-0)!0!)*0.5⁰*(0.5)¹⁰⁻⁰ = 0.00097656

P(X = 1) = 10!/((10-1)!1!)*0.20¹*(0.80)¹⁰⁻¹ = 0,009765625

P(X = 2) = 10!/((10-2)!2!)*0.20²*(0.80)¹⁰⁻² = 0,043945313

P(X = 3) = 10!/((10-3)!3!)*0.20³*(0.80)¹⁰⁻³ = 0,1171875

P(X = 4) = 10!/((10-4)!4!)*0.20⁴*(0.80)¹⁰⁻⁴ = 0,205078125

P(X < 5) =0.00097656 + 0,009765625  + 0,043945313  + 0,1171875 + 0,205078125   =0,623046875

P(X ≥ 5) = 1 - P(X ≤ 5) = 1 - 0,623046875  = 0.3769533125

Caso 2

La distribución Poisson es una distribución de probabilidad discreta usada en estadística para medir la probabilidad de que ocurra cierta cantidad de eventos en un tiempo determinado o en un espacio determinado, entre otros.

La función de probabilidad de la distribución Poisson es:

$P(\lambda ,k) = \frac{e^{-\lambda}*\lambda^{k}}{k!}$

• Donde k es la cantidad deseada de eventos en un tiempo determinado.

• λ es el tiempo que en promedio ocurre el evento, en dicho tiempo.

En este caso λ = 6.

La probabilidad de que reciba:

a) 4 solicitudes en un día: k = 4

$P(6,4) = \frac{e^{-6}*6^{4}}{4!}  = 0.133853$

b) Mínimo 10 solicitudes en un día:

P(x ≥10) = 1 - P(6,0) - P(6,1) - P(6,2) - P(6,3) - P(6,4) - P(6,5) - P(6,6) - P(6,7) - P(6,8) - P(6,9)

Calculamos las probabilidades en excel y las sumamos (ver imagen adjunta, tabla 1) obtenemos que:

P(x ≥10) = 1 - 0,916075983   = 0.083924017

a) Máximo 6 solicitudes en un día

P(x ≤ 6) = P(6,0) + P(6,1) + P(6,2) + P(6,3) + P(6,4) + P(6,5) + P(6,6)

Calculamos las probabilidades en excel y las sumamos (ver imagen adjunta, tabla 2) obtenemos que:

P(x ≤ 6) = 0,606302782

Caso 3:

La distribución normal: es una distribución de probabilidad continua usada en estadística con frecuencia.

El problema se distribuye normal con media 38.000 y desviación estándar 3.000

a) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan 35,000 cajas exactamente?

Como la distribución normal es una distribución de probabilidad continua, entonces la probabilidad de que se produzcan exactamente "a" cajas es 0

P(X=35.000) = 0

b) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan 30,000 cajas?

P(X=30.000) = 0

2. Distribución normal: cuando tenemos unos datos y nos dan su media y si desviación o varianza es conveniente suponer que los datos se distribuyen normal pues es una de las probabilidades más usadas y que aparecen con mayor frecuencia.

La probabilidad util en la vida cotidiana pues nos permite determinar que tan cierto es que un evento pueda o no ocurrir de esta manera poder tomar acciones al respecto, además si estamos esperando un resultado de algún evento nos permite determinar si es o no posible el mismo en base a esto tomar decisiones.

Answer 2

Caso 1: a) Probabilidad de obtener cinco aciertos es de 0,2461 b) Probabilidad de obtener algún acierto es de 0,999. c) Probabilidad de obtener mínimo cinco aciertos es de 0,623

Caso 2: La probabilidad de que reciba 4 solicitudes en un día es 0,1339, mínimo 10 solicitudes en un día 0,084 y máximo 6 solicitudes en un día 0,6063

Caso 3: En la empresa de chocolates “Max” .  La probabilidad que se produzcan 35,000  es de 15,87% y de producir 30.000 es de 0,4%

Explicación:

Caso 1:

Probabilidad de una distribucion binomial:

P(x =k) =Cn,k*p∧k*(q)∧(n-k)

Cn,k = n!/k!(n-k)!

Cuando no vos indican la probabilidad asumimos que la probabilidad de éxito y fracaso es un 50 y 50 por ciento

n = 10

p = 0,5

q= 0,5

a) Determinar la probabilidad de obtener 5 aciertos

P(x = 5) = 10!/((10-5)!5!)*0,5⁵*(0,5)⁵ = 0,2461

b) Probabilidad de obtener algún acierto.

P(x ≥ 1) = 1 - P(x≤1)

P(x≤1) = P(x=0)

P(x = 0) = 10!/((10-0)!0!)*0,5⁰*(0,5)¹⁰ = 0,00097656

P(x ≥ 1) = 1 - 0,00097656 = 0,999

c)Probabilidad de obtener mínimo cinco aciertos

P(x <5) = P( x = 0) + P(x= 1) +P(x=2+P(x=3)+ P(x =4)

P(x = 1) = C10,1*0,50¹*(0,5)⁹ = 0,009765625

P(x = 2) = C10,2*0,50²*(0,50)⁸ = 0,043945313

P(x = 3) = C10,3*0,50³*(0,50)⁷ = 0,1171875

P(x = 4) = C10,4*0,50⁴*(0,80)⁶ = 0,205078125

P(x < 5) =0,009765625 + 0,043945313  + 0,1171875  + 0,205078125  =0,623

Caso 2:

Probabilidad de Poisson:

P(x=k) = μΛκ*eΛ-μ/k!

Donde

k: es la cantidad deseada de eventos en un tiempo determinado.

μ: es el tiempo que en promedio ocurre el evento, en dicho tiempo.

μ = 6

e= 2,71828

La probabilidad de que reciba:

a) 4 solicitudes en un día:

k = 4

P(x=4) = 6⁴(2,71828)⁻⁶/4!

P(x=4) = 0,1339

b) Mínimo 10 solicitudes en un día:

P(x ≥10) = 1 - P(x=0) - P(x=1) - P(x=2) - P(x=3) - P(x=4) - P(x=5) - P(x=6) - P(x=7) - P(x=8) - P(x=9)

P(x ≥10) = 1-0,0025-0,0149-0,0446-0,0892-0,1338-0,1606-0,1606-0,1377-0,1033-0,0688

P(x ≥10) = 0,084

c) Máximo 6 solicitudes en un día

P(x ≤ 6) = P(x=0) +P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)+ P(x=4) +P(x=5) + P(x=6)

P(x ≤ 6) = 0,0025+0,0149+0,0446+0,0892+0,1338+0,1606+0,1606

P(x ≤ 6) = 0,6063

Caso 3:

Probabilidad de distribución normal:

μ = 38000 cajas de chocolate

σ= 3000

a) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan 35,000 cajas exactamente?

Los datos obtenidos no nos llevan a reflejar unos datos exactamente sino u rango de probabilidad

Tipificando Z:

Z = x-μ/σ

Z = 35000-38000/3000

Z = -1

Valor que obtenemos del la tabla de distribución normal y obtenemos:

P (x≤35000) = 0,15866

b) ¿Cuál es la probabilidad que se produzcan 30,000 cajas?

Tipificando Z:

Z = x-μ/σ

Z = 30000-38000/3000

Z = -2,67

Valor que obtenemos del la tabla de distribución normal y obtenemos:

P (x≤30000) = 0,00391

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