Question

Determina n sí a =420.12elevado a la n tiene 180 divisores

Answer 1

El valor de "n", sabiendo que 420 × 12ⁿ tiene 180 divisores, es 3.

Planteamos una igualdad, sabiendo que los divisores de n son 180.

El primer paso es buscar los factores primos de 420 y de 12, y proceder con el cálculo de los divisores:

420 = 2² × 3 × 5 × 7

12ⁿ = (2² × 3)ⁿ → 2²ⁿ × 3ⁿ

a = 2² × 3 × 5 × 7 × 2²ⁿ × 3ⁿ

a = 2²ⁿ ⁺ ² × 3ⁿ ⁺ ¹ × 5 × 7

Cálculo de divisores:

(2n + 1 + 1)(n + 1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 180

(2n + 2)(n + 2)(2)(2) = 180

4(2n² + 4n + 3n + 6) = 180

2n² + 7n + 6 = 45

2n² + 7n – 39 = 0

4(n – 3)(2n + 13) = 0

n₁ = 3

n₂ = -6,5

Descartamos el valor negativo, por lo que el valor de n es igual a 3.