Question

5.-Una circunferencia se ubica en el I Cuadrante, de tal forma que es tangente a los ejes coordenados. Su centro es el punto (2, 2). Determine su ecuación canónica.


6.-Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (4, 1) y que es tangente a la recta L: 2x-3y = 15.

Answer 1

a) La ecuación canónica de la circunferencia de centro (2,2) y tangente a los ejes es: (x-2)² + (y-2)² = 4

b) La ecuación de una circunferencia de centro (4,1) y tangente a L: 2x-3y = 15 es: (x-4)²+(y-1)²  = 100/13

Explicación:

a) Para determinar el radio de la circunferencia, notamos que una primeramente que una circunferencia es tangente al eje x, si el centro está r unidades por encima o por debajo de este eje, en este caso el centro tiene coordenadas (2,2), por lo que está 2 unidades encima del eje X; por lo discutido, el radio es 2 y la ecuación quedaría

(x-2)² + (y-2)² = r² = 2² = 4.

b) Este caso es un poco más tedioso, para resolverlo debemos seguir una serie de pasos que nos faciliten  la vida al momento de realizar el ejercicio, estos pasos son:

1. Determinar la tangente de la recta L: Despejando y de la ecuación, vemos 2x-3y = 15 => -3y = -2x + 15 => y = 2x/3 - 5. Aquí vemos que la pendiente es el coeficiente de x, es decir 2/3.
2. Construir una recta que pase por (4,1) y sea perpendicular a L: una recta es perpendicular a otra si el producto de sus pendientes es -1, es decir si una recta tiene pendiente m, entonces una perpendicular a esta tiene pendiente m2 = -1/m. En nuestro caso, vemos que la pendiente de L es 2/3, por lo que una perpendicular a esta tiene pendiente -1/(2/3) = -3/2. Para determinar la recta que pase por (4,1) con pendiente -3/2, simplemente tenemos L2: y = -3(x-4)/2 + 1 => 2y-2 = -3x + 12 => 2y+3x = 14.
3. Hallar el punto común entre L2 y L: Para realizar este paso, simplemente resolvemos el sistema 2x -3y = 15, 3x + 2y = 14. Sumando ambas tenemos (2+3)x +(2-3)y = 14+15 => 5x-y = 29 o y = 5x-29. Sustituyendo esto cualquiera de las 2 ecuaciones iniciales, tenemos: 2x -3(5x-29) = 2x -15x +87= 15 => -13x +87-15 = 0 => x = 72/13. Sustituyendo x en y=5x - 29, tenemos y = 5*72/13 - 29 = -17/13. Es decir, el punto común entre L y L2 es (72/13, -17/13).
4. Hallar la distancia cuadrada entre (4,1) y (72/13,-17/13): Hallando la distancia entre estos puntos, obtenemos el radio de la circunferencia, pero la ecuación canónica necesita es el radio al cuadrado. Recalcando que la distancia al cuadrado de dos puntos A(x0,y0) y B(x1,y1) es: d² = (x0-x1)² + (y0-y1)², tenemos: r² = (4-72/13)²+(1+17/13)² = (20/13)² + (30/13)² = [400+900]/169 = 1300/169 = 100/13. Es decir: r² = 100/13.

1. Escribir la ecuación de la circunferencia: Sabiendo ya el radio, podemos escribir la ecuación de la circunferencia, que es: (x-4)² + (y-1)² = 100/13