Question

1.-Considere la recta cuya ecuación es L: 3x+ky+2=0. Determine k∈R para que la distancia del punto (1, 1) a L sea:
a. Igual a 2 unidades.
b. Menor que 5 unidades.
c. Mayor que 1 unidad.
2.-Determine la distancia y el punto medio entre los siguientes pares de puntos:
a.(1,2);(-2,3)
b.(0,3);(1,5)
c.(-2,-1);(-3,4)
d.(2,4);(3,4)
e.(-4,6);(-7,6)
3.-Determine la ecuación de la recta que contiene al punto (5, -1) y que es paralela a la recta 2x+y-1 = 0.

4.-La ecuación de la recta que tiene la misma intersección con el eje X que la recta 2x-5y+6 = 0, y que es paralela a la recta 4x-2y-5 = 0, es:
a)2x-y-6=0
b)x-2y+3=0
c)2x+y+6=0
d)2x-y+6=0
e)2y-x-3=0

5.-Una circunferencia se ubica en el I Cuadrante, de tal forma que es tangente a los ejes coordenados. Su centro es el punto (2, 2). Determine su ecuación canónica.


6.-Determine la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (4, 1) y que es tangente a la recta L: 2x-3y = 15.




AYÚDENME POR FAVOR

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

Ja jaaa una pregunta a la vez sería mejor

Answer 2

Se contesta cada uno de las preguntas dadas:

Pregunta #1: distancia entre la recta y un punto

Distancia de un punto a una recta: la distancia de un punto P(x1,y1) a una recta L: AX+BY+C= 0  esta dada por la ecuación:

$D(P,L)= \frac{ |Ax1+By1+C|}{\sqrt{A^{2}+ B^{2}}}$

Tenemos la recta L:  3x + ky + 2 = 0: k∈R y el punto (1, 1): entonces la distacncia entre el punto y la recta es:

D(P,L) = |3*1 + k*1 + 2|/(√(3²+ k²)) = |3 + k + 2|/(√9 + k²) = |5 + k|/(√9 + k²)

a. Igual a 2 unidades: entonces igualamos a 2 unidades

|5 + k|/(√9 + k²) = 2

(5 + k)²/(9 + k²) = 4

25 + 10k + k² = 4*(9 + k²)

25 + 10k + k² = 36 + 4k²

4k² - k² - 10k + 36 - 25 = 0

3k² - 10k + 11 = 0

El discriminante es negativo: la distancia nunca es igual a 2

b. Menor que 5 unidades: colocamos la distancia menor a 5

|5 + k|/(√9 + k²) < 5

Ambos lados son positivos: puedo aplicar la raíz cuadrada

(5 + k)²/(9 + k²) < 25

9 + k² es positivo

25 + 10k + k² < 25*(9 + k²)

25 + 10k + k² < 225 + 25k²

0 < 25k² - k² - 10k + 225 - 25

0 < 24k² - 10k + 200

Nunca es igual a cero: entonces siempre es positiva o siempre es negativa. si k = 1 24*1 - 10 + 200 = 14 + 200 = 214, la distancia siempre sera menor a 5 unidades.

c. Mayor que 1 unidad.

|5 + k|/(√9 + k²) > 1

Ambos lados son positivos: puedo aplicar la raíz cuadrada

(5 + k)²/(9 + k²)  > 1

9 + k² es positivo

25 + 10k + k²  > 1*(9 + k²)

25 + 10k + k²  > 9+ k²

0  >  k² - k² - 10k + 9 - 25

0 > - 10k - 16

0 > -(10k + 16)

0 < 10 k + 16

-16/10 < k

k > -1.6

Pregunta #2: distancia y punto medio entre puntos:

La distancia entre dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) es:

d = √((x1 - x2)² + (y1 - y2)²)

El punto medio es:

PM = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

Buscamos la distancia y punto medio

a.(1,2);(-2,3):

d = √((1 + 2)² + (2- 3)²) = √(9 + 1) = √10

PM = ((1 -2)/2, (2 + 3)/2) = (-0.5, 2.5)

b.(0,3);(1,5)

d = √((0 - 1)² + (3- 5)²) = √(1 + 4) = √5

PM = ((0 + 1)/2, (3 + 5)/2) = (0.5, 4)

c.(-2,-1);(-3,4)

d = √((-2 + 3)² + (-1 - 4)²) = √(1 + 25) = √26

PM = ((-2 -3)/2, (-1 + 4)/2) = (-2.5, 1.5)

d.(2,4);(3,4)

d = √((2 - 3)² + (4 - 4)²) = √(1 + 0) = √1 = 1

PM = ((2 + 3)/2, (4 + 4)/2) = (2.5, 4)

e.(-4,6);(-7,6)

d = √((-4 + 7)² + (6 - 6)²) = √(9 + 0) = √9 = 3

PM = ((-4 - 7)/2, (6 + 6)/2) = (-5.5, 6)

Pregunta #3: Ecuación de la recta:

La ecuación de una recta que pasa por los puntos A(x1,y1) B(x2,y2) es:

y - y1 = m*(x - x1)

Donde m es la pendiente de la recta y se determina por:

m = (y2 - y1)/(x2 - x1)

Si una recta tiene ecuación: y = m*x + b entonces "m" es la pendiente, dos ecuaciones son paralelas si tienen la misma pendiente

Entonces como queremos que la recta sea paralela a:

2x + y - 1 = 0

⇒y = - 2x + 1, entonces la pendiente m = - 2

y queremos que pase por (5,-1)

y + 1 = -2*(x - 5)

y + 1 = -2x + 10

2x + y + 1 - 10 = 0

2x + y - 9 = 0 Esta es la recta que pasa por (5,-1) y es paralela a 2x + y - 1 = 0

Pregunta #4: recta que intersecta al eje x en un punto y es paralela a otra:

El punto de intersección con el eje x: de una función se hace cuando y = 0

2x - 5y + 6 = 0 intersecta al eje x si y = 0

2x + 6 = 0

2x = - 6

x = -6/2

x = - 3, pasa por (-3,0)

Como es paralela a 4x - 2y - 5 = 0 ⇒ 4x - 5 = 2y

y = 2x - 5/2, la pendiente es m = 2

y - 0 = 2*(x + 3)

y = 2x + 6

2x - y + 6 = 0. Opción c

Pregunta #5: Circunferencia tangente a los ejes ordenados

La ecuación de una circunferencia con centro C(h,k) y con radio "r", es igual

(x - h)² + (y - k)² = r²

Tenemos que el centro es: (2,2) si es tangente a los ejes ordenados entonces h = k = r = 2

(x - 2)² + (y - 2)² = 2² Ecuación conica de la circunferencia

Pregunta #6: Ecuación de la circunferencia con centro y tangente a la recta

Ennces el radio de la recta: sera la distancia entre el centro y la recta tangente

L: 2x - 3y - 15 = 0

P = (4,1)

D(P,L) = |2*4 + -3*1- 15|/(√(2²+ (-3)²)) = |-10|/(√13) =10/√13 = (10√13)/13

Entonces la ecuación conica sera:

(x - 4)² + (y - 1)² = ( (10√13)/13)²

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