Question

Continuidad
En un circuito eléctrico se necesita garantizar que la resistencia sea positiva y continua siempre. La resistencia del circuito está dado por la siguiente función:
R (T) = [at+2 si 0 < t ≤ 4 el
b-6ª si 4< t ≤ 8 el
t-2b si t>8

Donde R es la función resistencia que depende del tiempo. Determine los valores de a y b que hacen que la resistencia sea continua.

Answer 1

La función R(t) es continua en t = 4 y t = 8 si se cumple que los valores de a y b son: a = 1/12 y b = 17/6

Explicación:

Una función R(t) es continua en un valor dado t = α si se cumple que:

$R(\alpha )= \lim_{t \to\alpha } R_(t)$

A su vez, para que el límite dado antes exista deben existir y ser iguales los límites laterales.  

En esto último nos vamos a basar para resolver nuestro problema: ya que R(4) y R(8) están definidas, vamos a plantear los límites laterales en esos puntos y los igualamos a los valores de la función. De esta forma se obtiene, por cada límite, una ecuación lineal que nos permite hallar los valores de a y b.

VALOR t = 4

1.- R(4) = a(4) + 2 = 4a + 2

2.- $\lim_{t \to \4^{-} } (at+2)=4a+2$

$\lim_{t \to \4^{+} } (b-6a)=b-6a$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$4a+2=b-6a$ ⇒ $10a-b=-2$

VALOR t = 8

1.- R(8) = b – 6a

2.- $\lim_{t \to \8^{-} } (b-6a)=b-6a$

$\lim_{t \to \8^{+} } (t-2b)=8-2b$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$b-6a=8-2b$ ⇒ $3b-6a=8$

Construimos el siguiente sistema:

$\left \{ {{10a-b=-2} \atop {3b-6a=8}} \right.$        ⇒

$\left \{ {{30a-3b=-6} \atop {3b-6a=8}} \right.$        ⇒

a  =  1/12      y        b  =  17/6