Question

1. Lee con atención la siguiente situación:
Supongamos que el costo de la producción en pesos de x toneladas de jitomate está dada por la siguiente función: c (x) = 2x2 - 6x
Es decir, para producir 500 toneladas de jitomate se necesitan c (500) = 2 (500)2 - 6(500) = 497,000(cuatrocientos noventa y siete mil pesos).
Si queremos saber cuánto se deberá pagar si se incrementa la producción a 30 toneladas más, hay que derivar la ecuación de la producción total y así obtener el costo del incremento de la producción. Para ello, se puede realizar el siguiente proceso:
a) Se deriva la función del costo de producción
c(x)= 2x2- 6x

Para derivarla se utiliza la siguiente fórmula, que es para realizar una derivada de un polinomio:

b) El resultado o la derivada de la función de producción total es:

2. A partir de lo anterior, responde:
• ¿Cuánto deberá pagarse por aumentar a 30 toneladas la producción, es decir, por producir 530 toneladas de jitomate?
Primero se debe de encontrar la derivada de c(x)=2x2-6x

Answer 1

Resolviendo el planteamiento se tiene que la derivada de la función del costo de producción es decir la función de costo marginal es $d= 4x-6$, y deberá pagarse para producir 530 toneladas de jitomate  556.820 pesos.

◘Desarrollo:

El primer paso es derivar la función del costo de producción mediante la fórmula para derivar un polinomio:

$\frac{dx^{n} }{dx}= nx^{n-1}$

$c(x)= 2x^{2}- 6x$

$\frac{d(2x^{2}-6x) }{dx}= 4x-6$

Tenemos que:

$c(500)= 2(500)^{2}- 6(500)$

$c(500)= 497.000$

Sustituimos en la función derivada la producción original (500) para hallar la derivada de este incremento:

$d= 4x-6>30$

$d= (4x-6)(30)$

$d= [4(500)-6]*30$

$d= 1994*30$

$d= 59820$

Para hallar el costo total de la producción marginal sumamos la derivada del incremento al costo de producción original:

$CT(530) = C(500) + d$

$CT(530) = 497000 + 59820$

$CT(530) = 556820$