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Hola.
Hay varias formas de resolver un sistema de ecuaciones con 3 incógnitas, yo suelo usar el método de sustitución, en este caso tenemos.
x + y + z = 12
2x - y + z = 7
x + 2y - z = 6
A- Despejaré z en la 3era ecuación
x + 2y - z = 6
x + 2y - 6 = z
B- Remplazo z en las otras 2 ecuaciones y formamos un sistema de ecuaciones con 2 incógnitas
x + y + z = 12
x + y + x + 2y - 6 = 12
2x + 3y = 12 + 6
2x + 3y = 18 ======> 1era ecuación
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2x - y + z = 7
2x - y + x + 2y - 6 = 7
3x + y = 7 + 6
3x + y = 13 ========> 2da ecuación
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Nuevo sistema de ecuaciones
2x + 3y = 18
3x + y = 13
Con esto se forma un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas que es más sencillo de trabajar.
C- Utilizo el método de sustitución nuevamente. Despejamos y en la 2da ecuación
3x + y = 13
y = 13 - 3x
D- Sustituimos y en la primera ecuación y obtenemos el valor de x
2x + 3y = 18
2x + 3*(13 - 3x) = 18
2x + 39 - 9x = 18
-7x = 18 - 39
-7x = -21
x = -21/-7
x = 3
E- Ahora solo nos queda remplazar x en cualquiera de las ecuaciones para obtener y, para luego remplazar x e y, obteniendo el valor de z
y = 13 - 3x
y = 13 - 3 * 3
y = 13 - 9
y = 4
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x + 2y - 6 = z
3 + 2*4 - 6 = z
3 + 8 - 6 = z
z = 5
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R.- x = 3 ; y = 4 ; z = 5
Espero me haya explicado bien
Un cordial saludo.