Una barda de h pies de altura corre paralela a un edificio alto y a w pies de él. Encuentre la longitud de la escalera más corta que llegue del suelo hasta la pared del edificio, pasando por encima de la barda.
Respuestas
Una barda de h pies de altura corre paralela a un edificio alto y a w pies de él. La longitud de la escalera mas corta es: 16,65 pies
Explicación:
Completando el enunciado:
Una barda de 8 pies de altura corre paralela a un edificio alto, a una distancia de 4 pies de este ultimo. ¿Cual es la longitud de la escalera mas corta que llegara desde el suelo, pasando por encima de la barda, hasta la pared del edificio?
Datos:
a = 8 pies
b: distancia entre la pared y la cerca
b = 4 pies
Angulo que forma el piso con la escalera.
Los tramos auxiliares de la escalera: "x" e "y".
La longitud "L" de la escalera (nuestra magnitud a minimizar) será entonces:
L = x + y (I)
senα = a / x ⇒ x = a / sen α (II)
cos α = b / y ⇒y = b / cos α (III)
Y de (II) y (III) en (I) tendremos:
L(α) = (a / senα) + (b / cos α) (IV)
Derivaremos esta expresión para obtener su mínimo:
L '(α) = -(a cos α)/(sen² α) + (b sen α)/(cos² α)
L '(α) = (b sen³ α - a cos³ α) / (cos α* sen α)²
Para hallar el mínimo de la función planteamos:
L '(α) > 0⇒ (b sen³α - a cos³ α) > 0
b sen³ α > a cos³ α ⇒ tan³ α > (a/b)
tan Ø > (a/b)^(1/3)
La desigualdad anterior nos informa que:
si α es mayor que el valor calculado es creciente
si α es menor que el valor calculado es decreciente
Angulo que genera la escalera más corta.:
α = arctan[(a/b)^(1/3) es el
Finalmente, recordando que:
cosα = 1 / √(1 + tan² α)
senα = (tan α) /√(1 + tan²α)
Tendremos:
L = √(1 + tan² α) [ (a/tanα) + b]
Como:
a = 8
b = 4
tan α = (a/b)^(1/3) = 2^(1/3)
L = 16,65 pies
