Demostrar que se puede trazar por el punto P (2,7) dos rectas de manera que sus distancias al punto Q(1,2) sean iguales a 5 : Hallar las ecuaciones de estas rectas .
Respuestas
Las ecuaciones de las rectas son:
y = 7
y = -5X/12 + 47/6
Sean los puntos T1 y T1’, aquellos que se encuentran a una distancia de 5 del punto Q
Sean x e y las coordenadas del punto T1
T1 = (x,y)
Utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos tenemos que la distancia al cuadrado de P a Q es :
d^2=(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2
d^2= (2-1)^2 + (7-2)^2 = 1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26
La distancia de T1 a Q es 5 por lo tanto la distancia al cuadrado de T1 a Q es 25
(Ver imagen)
El segmento QT1 es perpendicular a la recta que pasa por P y por T1, formándose un triángulo rectángulo, del cual conocemos que la hipotenusa al cuadrado (PQ) vale 26 y un cateto al cuadrado (QT1) vale 25, aplicando teorema de Pitágoras tenemos que el cateto PT1 al cuadrado vale 1
h^2 = ca^2 +cb^2
26 = 25 + PT1^2
26-25 = PT1^2
1 = PT1^2
La distancia entre el punto P y T1 es entonces 1 y si aplico la fórmula de la distancia entre dos puntos tengo:
d^2 = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2
1^2 = (2-x)^2 + (7-y)^2
1 = (2-x)^2 + (7-y)^2 ECUACION A
También sé que la distancia entre Q y T1 es 5 por lo tanto si aplico la fórmula de la distancia entre dos puntos tengo:
d^2 = (x2-x1)^2 + (y2-y1)^2
5^2 = (1-x)^2 + (2-y)^2
25 = (1-x)^2 + (2-y)^2 ECUACION B
La ecuación A y la ecuación B forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las desarrollo y aplico el método de reducción:
(1-x)^2 + (2-y)^2 = 25 Ec. B
(2-x)^2 + (7-y)^2 = 1 Ec. A
x^2 + y^2 -2x -4y + 5 = 25 Ec. B
x^2 + y^2 -4x -14y + 53 = 1 Ec. A
Cambio el signo de la Ec. B y sumo
x^2 + y^2 -2x -4y + 5 = 25
-x^2 - y^2 +4x +14y - 53 = -1
__________________________
2x + 10y -48 = 24
2x + 10y = 24 + 48
2x + 10y = 72
Simplifico entre dos ambos miembros y queda:
x + 5y = 36
Despejo x y queda que:
x = 36 – 5y
Sustituyo el valor de x en la ec. A y despejo y
(36-5y)^2 + y^2 – 4(36-5y)-14y + 53 = 1
1296 – 360y + 25y^2 + y^2 -144 +20y -14y+ 53 = 1
26y^2 -354y +1205 = 1
26y^2 – 354y +1204 = 0
Simplificando ambos miembros entre 2
13y^2 – 177y +602 = 0
Aplicando la formula cuadrática tenemos dos soluciones para y:
y1 = 7
y2= 86/13
Busco el valor de X para cada caso:
Caso1: cuando y=7
x = 36-5y
x = 36 – 5*7
x= 36 -35
x = 1
T1 = (1,7)
Caso 2: cuando y = 86/13
x = 36 – 5y
x = 36 – 5*86/13
x = 36 – 430/13
x = (468 – 430) / 13
x = 38/13
T1’ = (38/13 , 86/13)
Finalmente buscamos la ecuación de las rectas L1 y L2 tal que L1 pase por el punto P y el punto T1 y L2 pase por el punto P y T1’
Recta L1 , pasa por P =(2,7) y T1 =(1,7)
m = (7 – 7)/(2-1) = 0/1
m=0
y = 0x + b evalúo la ecuación en el punto P
7 = 0*2 + b
7 = 0 + b
7 = b
Por lo tanto la ecuación de la recta L1 es
y = 7
Recta L2 , pasa por P =(2,7) y T1’= (38/13 , 86/13)
m = (7 – 86/13)/(2-38/13)
m = (5/13) / (-12/13)
m=-5/12
y = -5x/12 + b evalúo la ecuación en el punto P
7 = -5*2/12 + b
7 = -10/12 + b
7 = -5/6 + b
7+5/6 = b
47/6 = b
Por lo tanto la ecuación de la recta L2 es
y = -5x/12 + 47/6
