Question

Un bombardero entra en picada formando un angulo de 60° con la vertical y abandona una bomba a una altura de 3000m, la cual llega al suelo 10s después de ser abandonada. Determinar a) la aceleración, velocidad y posición de la bomba para cualquier tiempo b) la velocidad del bombero c) la distancia horizontal que recorre la bomba durante su vuelo d) con que velocidad choca contra el suelo

Answer 1

Determinamos las variables de una bomba cayendo en movimiento parabólico.

• La posición de la bomba para cualquier tiempo es $Y = 3000-251t-4,9t^2$ y $X = 251\sqrt{3}t$.
• La velocidad de la bomba para cualquier tiempo es $V_y=-251-9,8t$ y $V_x=251\sqrt{3}\:m/s$.
• La aceleración de la bomba para cualquier tiempo es $a_y=-9,8 \:m/s^2$ y $a_x=0 \:m/s^2$.
• La velocidad del bombardero es V₀ = 502 m/s.
• La bomba alcanza una distancia horizontal de X = 4.347,45 m.
• La bomba choca contra el piso a una velocidad de V = 576,75 m/s.

Datos:

Ángulo respecto a la vertical: θ = 60º

Altura de la bomba: Y₀ = 3.000 m.

Tiempo en el que llega al suelo: t = 10 s.

Aceleración de la gravedad: g = 9,8 m/s²

Procedimiento:

Con la formula de movimiento parabólico determinamos la velocidad inicial. Para el eje vertical tenemos, considerando que la bomba va en caída, la velocidad y la aceleración son negativas:

$\boxed{Y = Y_0-V_0*Cos(\theta)*t-\frac{1}{2} *g*t^2}$

Reemplazando los valores y despejando el valor de la velocidad inicial, que corresponde a la velocidad del bombardero:

$0=3.000-V_0*Cos(60\º)*(10)-\frac{1}{2}*(9,8)*(10)^2$

$V_0 = \dfrac{3.000-490}{5} =502 \:m/s$

Por lo tanto el valor de posición para cualquier tiempo de la bomba será:

$Y = 3.000-502*Cos(60\º)t-4,9t^2 = 3.000-251t-4,9t^2$

$X = 502*Sen(60\º)t=251\sqrt{3}t$

El valor de la velocidad para cualquier tiempo, se obtiene mediante la primera derivada de la posición:

$V_y = -251-9,8t$

$V_x=251\sqrt{3}$

El valor de la aceleración se obtiene con la derivada de la velocidad:

$a_y = -9,8 \:m/s^2$

$a_x=0 \:m/s^2$

La distancia horizontal, se obtiene al reemplazar el tiempo (t = 10 s), en la posición para el eje horizontal (x):

$X =251\sqrt{3}*(10) = 4.347,45 \:m$

Para determinar la velocidad con la que choca la bomba en el suelo, tenemos que la velocidad en el eje horizontal es constante ($V_x = 251\sqrt{3} \:m/s$), mientras que en el eje vertical varia con el tiempo. Para t = 10 s, tenemos:

$V_y = -251-9,8*(10)= 349 \:m/s$

Finalmente, la velocidad será:

$\vec{V}=\sqrt{V_x^2+V_y^2} = \sqrt{(251\sqrt{3})^2+(-379)^2} =576,75 \:m/s$