Respuestas
La función es máxima en el punto (26/3, 4/3), es decir, x = 26/3, y = 4/3
Tenemos que:
Maximizar: F(x,y) = 5x + 3y
S.A.
x + y ≤ 10
x - 2y ≤ 6
3x + 4y ≥ 24
x ≥ 0
y ≥ 0
Usaremos el método gráfico:
Si observamos la imagen adjunta vemos en rosado las restricciones al problema de menor o igual y en azul las de mayor o igual, que fueron graficadas para encontrar la región factible que señalamos en turquesa.
Luego por programación lineal sabemos que los mínimos y máximos posibles están en los vértices de la región factible, en circulo podemos ver los vértices que son:
A: (0,10)
B: (0,6)
Y los puntos de intersección de las rectas:
i) y = 10 - x con y = 0.5x - 3
ii) y = 0.5x - 3 con y = 6-3/4x
Buscamos dichos puntos
i) 10 - x = 0.5x - 3
10 + 3 = 0.5x + 1
13 = 1.5x
x = 13/1.5 = 26/3 = 8.6667 entonces y = 0.5*8.6667 -3 = 4/3 = 1.3333
ii) 0.5x -3 = 6 - 3/4x
0.5x + 3/4x = 6 +3
5/4x = 9
x = 4/5*9 = 36/5 = 7.2 Entonces y = 0.5*7.2 - 3 = 0.6
Por lo tanto los otros vértices son:
C: (26/3, 4/3)
D: (7.2, 0.6)
Evaluamos en la función optima:
F(0,10) = 5*0 + 3*10 = 30
F(0,6) = 5*0 + 3*6 = 0+ 18 = 18
F(3,2) = 5*26/3 + 3*4/3 = 130/3 + 4 = 142/3 = 47.3333
F(7.2, 0.6) = 5*7.2 + 3*0.6 = 37.8
Como queremos que la función sea máxima entonces tomamos la que arroja mayor valor que es el vértice C = (26/3, 4/3)
La función es máxima en el punto C = (26/3, 4/3)
