Question

Un esquiador inicia un salto horizontalmente con una velocidad inicial de 23 m/s, como se muestra en la figura. La altura inicial al final de la rampa es de 80 m arriba del punto de contacto con el suelo, (a) ¿Cuánto tiempo permanece en el aire el esquiador? (b) ¿Cuán lejos viaja horizontalmente? (c) ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la velocidad final?

Answer 1

Determinamos las condiciones después que el esquiador finaliza el salto.

• El tiempo de vuelo que permanece en el aire es t = 7,02 s.
• El alcance horizontal es X = 161,46 m.
• La velocidad final será V = 51,25 m/s.

Datos:

Velocidad inicial: V₀ = 23 m/s.

Altura inicial: h₀ = 80 m.

Aceleración de la gravedad: g = 9,8 m/s².

Como el planteamiento no propone un ángulo de salida desde la rampa, este se considera que es 0º.

Procedimiento:

Con la formula de movimiento parabólico, al suponer que la altura final es cero (h = 0 m), podemos calcular el tiempo de vuelo:

$\boxed{h=h_0+V_0*t-\frac{1}{2}*g*t^2} \quad \longrightarrow 0=80+23t-4,9t^2$

A partir de la ecuación cuadrática anterior, podemos hallar las raíces usando por ejemplo la resolvente. Así tenemos que t₁ = -2,33 s y t₂ = 7,02 s. Tomamos el tiempo positivo (t₂), como el momento que le llevo despegar de la rampa y llegar al suelo nuevamente.

Para determinar el alcance horizontal, usamos la misma expresión anterior sólo que ahora insertamos las variables presentes en el eje horizontal donde la posición inicial es cero (X₀ = 0) y la aceleración es cero (a = 0):

$\boxed{X = X_0+V_0*t+\frac{1}{2}*a*t^2} \quad \longrightarrow X = V_0*t = 23*(7,02)=161,46 \:m$

Para obtener la velocidad final, debemos calcular la velocidad en cada uno de los ejes y determinar su vector.

1. Para el eje horizontal, como la aceleración es cero tenemos que la velocidad es:

$V_x=V_0 = 23 \:m/s$

2. Para el eje vertical tenemos que la velocidad es:

$V_y=23-9,8t \quad \longrightarrow \quad V_y=23-9,8(7,02)= -45,796 \:m/s$

Finalmente el vector velocidad será:

$\boxed{\vec{V}=\sqrt{V_x^2+V_y^2}} \quad \longrightarrow \vec{V}=\sqrt{(23)^2+(-45,796)^2} = 51,25 \:m/s$