Question

sustituye x=b tan a donde -pi/2 < a < pi /2 y b >0 en cada una de las siguientes expresiones, luego simplifica.

a.raiz de b al cuadrado mas x al cuadrado
b. 1 sobre b al cuadrado mas x al cuadrado

Answer 1

Nota: Hay ciertas propiedades que nos van a ser de mucha utilidad:

1. $a*n + a*m = a(n+m)$
2. $\sqrt{a*b} = \sqrt{a}*\sqrt{b}$
3. $a > 0\\\sqrt{a^2}= a$
4. $cos(x) = \frac{1}{sec(x)}$
5. $sec^2(x)= 1 + tan^2(x)$
6. $x = btan(a)\\x^2 = b^2tan^2(a)$

• a) $\sqrt{b^2 + x^2} = \sqrt{b^2+b^2tan^2(a)}$. Utilizando las propiedades 1, 2, 3 y 5, nos queda lo siguiente: $\sqrt{b^2(1+tan^2(a))} = \sqrt{b^2}\sqrt{1+tan^2(a)} = b\sqrt{sec^2(a)}$. \nPara -π/2 < a < π/2, sec(a) > 0, por lo que usando otra vez la propiedad 3, nos queda$\sqrt{b^2+x^2}= b\sqrt{sec^2(a)} = bsec(a)$
• $\frac{1}{b^2+x^2} = \frac{1}{b^2 +b^2tan^2(a)}$. Usando las propiedades 1 y 5, tenemos: $\frac{1}{b^2 +b^2tan^2(a)} =  \frac{1}{b^2(1+tan^2(a))}=  \frac{1}{b^2 sec^2(a)}$. Ahora, usando la cuarta propiedad tenemos: $\frac{1}{b^2sec^(a)} = \frac{1}{b^2}(\frac{1}{sec(a)})^2 = \frac{cos^2(a)}{b^2} = (\frac{cos(a)}{b})^2$