Question

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE

y^´´-4y=sen (t) ;y(0)=1,y^'(0)= -1

Answer 1

La solución a la ecuación diferencial, tomando en cuenta que y(0)=1 y'(0)=-1 es:

$y(t)=\frac{1}{3}*[sen(t)-\frac{1}{2}sen(2t)]+cos(2t)-\frac{1}{2}sen(2t)$

Para poder resolver esta ecuación, debemos aplicar la transformada de Laplace, por lo que tendremos que:

$y''(t)-4y(t)=sen(t)\\\\S^{2}Y(S)-Sy(0)-y'(0)-4[Y(S)] =\frac{1}{S^{2}+1 }$

Al tener la nueva ecuación, debemos despejar Y(S), para luego aplicar la anti transformada y obtener el resultado deseado:

$Y(S)=\frac{1}{(S^{2}+4)*(S^{2}+1)} +\frac{S}{S^{2}+4} -\frac{1}{S^{2}+4}$

Es importante que trabajemos la solución por cada término, a fin de evitar confusión y de tener el resultado deseado:

$Y(S)=Y(S)_{1} +Y(S)_{2} +Y(S)_{3} \\\\y(t)=y(t)_{1} +y(t)_{2} +y(t)_{3}$

Para el primer término, debemos descomponer la fracción en suma de fracciones:

$\frac{1}{(S^{2}+1)*(S^{2}+4 )} =\frac{AS+B}{S^{2}+1} +\frac{CS+D}{S^{2}+4}$

Procedemos a determinar loos valores de A, B, C y D. Si sumamos las fracciones y factorizamos el denomidador, podremos hallar los valores, tomando en cuenta que solo hay un valor en el término independiente en los demás el coeficiente es 0. De aquí tendremos 4 ecuaciones para hallar los valores:

1. A+C=0
2. 4A+C=0
3. B+D=0
4. 4B+D=1

De aqui tenemos que A y C valen 0, mientras que B tiene un valor de $\frac{1}{3}$ y D vale $-\frac{1}{3}$.

por lo que tendriamos:

$Y(S)_{1}=\frac{1}{3}*[\frac{1}{S^{2}+1 } -\frac{1}{S^{2} -4} ]$

En la segunda fracción multiplicamos y dividimos por 2 para poder tener una transformada conocida:

$Y(S)_{1}=\frac{1}{3}*[\frac{1}{S^{2}+1 } -\frac{1}{2} *\frac{2}{S^{2}+4 } ]  \\\\y(t)_{1}=\frac{1}{3} *[sen(t)-\frac{1}{2}*sen(2t)]$

Para el segundo término de nuestra ecuación original, tenemos una transformada que es conocida:

$Y(S)_{2}=\frac{S}{S^{2}+4}\\  \\y(t)_{2} =cos(2t)$

Para nuestro ultimo término, tenemos que multiplicar y dividir por 2 para generar una transformada conocida:

$Y(S)_{3} = \frac{1}{S^{2} +4} =\frac{1}{2}* \frac{2}{S^{2} +4}\\\\y(t)_{3} =\frac{1}{2}*sen(2t)$

Y nuestra solución final es la siguiente:

$y(t)=\frac{1}{3}*[sen(t)-\frac{1}{2}*sen(2t)]+cos(2t)-\frac{1}{2}*sen(2t)$