Question

Un jardín cuya forma es rectangular, tiene 1/2 metro de perímetro. Si el largo se disminuye en 4 metros y el ancho se aumenta en 4 metros, el jardín sería cuadrado.
Halla las dimensiones

Answer 1

El término perímetro, en geometría, se emplea para hacer referencia a la suma de las longitudes de los lados de una figura plana. El perímetro de un rectángulo viene dado por: $P_{R}=2(l+a)$ y el perímetro de un cuadrado viene dado por: $P_{C}=2 \cdot l$.

Para resolver éste ejercicio debemos recurrir a los sistemas de ecuaciones. Sabemos que el perímetro del jardín rectangular es de:

$P_{R}=2(l+a)=\frac{1}{2} [m]$    (1)

Y sabemos que el nuevo jardín tiene una reducción de tamaño respecto al anterior de 4m para el largo y un aumento de 4m para el ancho. El nuevo perímetro del jardín corresponderá a una figura cuadrada, es decir:

$P_{C}=2 \cdot l'$

Donde,

$l'=l-4\\a'=a+4$

$l'=a'$    (2)

Ver figura adjunta.

Ahora bien, a partir de la ecuación (1) podemos obtener:

$a=\frac{1}{4}-l$    (3)

y a partir de la ecuación (2) podemos decir que:

$l-a=8$   (4)

Se plantea el sistema de ecuaciones con (3) y (4):

$\left \{ {{a=\frac{1}{4}-l} \atop {l-a=8}} \right.$

Se obtiene que:

$l-(\frac{1}{4}-l)=8\\l= \frac{33}{8}$

y

$a=\frac{1}{4}-\frac{33}{8}\\a=-\frac{31}{8}$

Luego,

$l'=l-4\\l'=\frac{33}{8}-4\\l'=\frac{1}{8}$

Como se trata de un rectángulo sabemos que todos los lados son iguales, por lo que $l'=a'$, comprobamos:

$a'=a+4\\a=-\frac{31}{8}+4\\a'=\frac{1}{8}$

Finalmente,

$P_{C}=4(\frac{1}{8})\\P_{C}=\frac{1}{2} [m]$