Question

Utilice el hecho de que la integral de línea es independiente de trayectoria en todo el plano xy para calcular el valor de la integral
∫(π,π)(π/2,π/2,0)(siny+ycosx) dx+(sinx+xcosy) dy

A) −π/2

B) π

C) −π

D) π/2

E) Ninguna de las anteriores

Answer 1

Hallemos la ecuación paramétrica del segmento con extremos (π,π) - (π/2,π/2)

$s(t)=(\pi/2,\pi/2)+(\pi/2,\pi/2)t~,~ t\in[0,1]\\\\x=\pi/2+t ~\pi/2=y\\\\\text{Calculemos la integral: }\\\\ \displaystyle I=\int_s (\sin y+y\cos x)dx+(\sin x+x\cos y)dy\\\\\\(\sin y+y\cos x)dx=[\sin(\frac{\pi}{2}+t\frac{\pi}{2}) + (\frac{\pi}{2}+t\frac{\pi}{2})\cos (\frac{\pi}{2}+t\frac{\pi}{2})]\cdot \frac{\pi}{2}dt\\\\\\(\sin y+y\cos x)dx=\frac{\pi}{2}[\cos(t\frac{\pi}{2})- (\frac{\pi}{2}+t\frac{\pi}{2})\sin(t\frac{\pi}{2})]~dt$

$\displaystyle I=\pi\int_0^1[\cos(t\frac{\pi}{2})- (\frac{\pi}{2}+t\frac{\pi}{2})\sin(t\frac{\pi}{2})]~dt\\\\\\I=-\pi$