Question

Se sabe que la tasa de crecimiento de una determinada poblacion de bacterias en tiempo t (medido en horas) es directamente proporcional la diferencia entre la capacidad limite de poblacion (L medido en millones de bacterias) y la poblacion de bacterias N(t)
se tiene dN\dT = k(L-N) se realiza un cultivo de 2.5 millones de bacterias es decir N(0)=2.5 se observa que la poblacion se duplica cada 3 horas es decir N(3)=5 si L es 10 millones de bacterias calcular el numero de bacterias existentes en 11 horas

Answer 1

Explicación:

Primeramente resolvemos la ecuación diferencial

$\frac{dN}{dt}  = k(L-N)$

Tomando los siguientes pasos:

1. Dividir L-N an ambos lados $\frac{1}{L-N}\frac{dN}{dt} = k\frac{L-N}{L-N} = k$
2. Separar dN y dt $\frac{dN}{L-N} = kdt$
3. Integra en ambos lados:  $\int\limits^{N(t)}_{N_0} { \frac{1}{L-N} } \, dN = - \int\limits^{N(t)}_{N_0} { \frac{1}{N-L} }\,dN\\\\\\Sea:\\ u = N-L\\du = dN\\\\u(N_0) = N_0 - L\\u(N(t)) = N(t) - L \\\\-\int\limits^{N(t)-L}_{N_0-L} { u } \, du =- [ ln( N(t) - L ) -ln(N_0 - L) ] = - ln( \frac{N(t) - L}{N_0 - L} )$. lo que implica que $-ln( \frac{N(t) - L}{N_0 - L} ) = \int\limits^t_0 {k} \, dt = kt\\\\ln( \frac{N(t) - L}{N_0 - L} ) = -kt$
4. Despejamos N(t) de la expresión: $ln( \frac{N(t) - L}{N_0 - L} ) = -kt\\\\\frac{N(t) - L}{N_0 - L} = e^{-kt}\\\\N(t) - L = e^{-kt}(N_0-L) \\\\N(t) = L + e^{-kt}N_0 -Le^{-kt}\\\\N(t) = L(1- e^{-kt}) +N_0 e^{-kt}$
5. Sustituimos los valores de N_0 y L: $N_0 = 2.5\\L = 10\\N(t) = L(1-e^{-kt}) +N_0e^{-kt}= 10(1-e^{-kt}) +2.5e^{-kt}$
6. Hallamos el valor de k: Puesto que N(3) = 5, vamos a utilizar este hecho para hallar un valor para k, que sería $N(3) = 10(1- e^{-3k}) + 2.5e^{-3k} = 5\\\\e^{-3k}(2.5-10) +10= 5\\\\-7.5e^{-3k} = -5\\e^{-3k} = 5/7.5 = 5/(15/2) = 10/15 = 2/3\\-3k = ln(2/3)\\k = -(1/3)ln(2/3)  = \frac{ln(3/2)}{3}$
7. Sustituimos el valor de k en la formula: $k = \frac{ln(3/2)}{3}\\N(t) = 10(1-e^{-kt)} + 2.5e^{-kt} = 10(1- e^{- \frac{t}{3}ln(3/2) }) + 2.5e^{- \frac{t}{3}ln(3/2)} = \\\\N(t) = 10(1 - ( \frac{2}{3} )^{t/3}) +2.5( \frac{2}{3})^{t/3}$
8. Evaluamos N en t = 11:asa$N(11)= 10 (1 - (\frac{2}{3})^{11/3})+2.5(\frac{2}{3})^{11/3} = 8.304$