Amiguitos ayudemen porfavor 1. Minimizar la función F(x, y) = 4x + 6y sujeta a: { + ≥ 5 + 3 ≥ 9 4 + ≥ 8 ≥ 0 ≥ 0
2. Maximizar la función F(x, y) = 5x + 3y sujeta a: { ≤ 10 − 2 ≤ 6 3 + 4 ≥ 24 ≥ 0 ≥ 0
3. Minimizar la función F(x, y) = 15x + 30y sujeta a: { + 5 ≥ 14 2 + ≥ 10 ≥ 0 ≥ 0 MIL GRACIAS AYUDEMEN A RESOLVER
Respuestas
1) La función es mínima en el punto (3,2), es decir, x = 3, y = 2
2) La función es máxima en el punto (26/3, 4/3), es decir, x = 26/3, y = 4/3
3) La función es mínima en el punto (4,2), es decir: x = 4, y = 2
1) Tenemos que:
Minimizar: F(x,y) = 4x + 6y
S.A.
x + y ≥ 5
x + 3y ≥ 9
4x + y ≥ 8
x ≥ 0
y ≥ 0
Usaremos el método gráfico:
Si observamos la imagen adjunta 1 vemos en rosado las restricciones al problema que fueron graficadas para encontrar la región factible que señalamos en turquesa.
Luego por programación lineal sabemos que los mínimos y máximos posibles están en los vértices de la región factible, en circulo podemos ver los vértices que son:
A: (0,8)
B: (1,4)
C: (3,2)
D: (9,0)
Evaluamos en la función optima:
F(0,8) = 4*0 + 6*8 = 48
F(1,4) = 4*1 + 6*4 = 4 + 24 = 28
F(3,2) = 4*3 + 6*2 = 24
F(9,0) = 4*9 + 6*0 = 36
Como queremos que la función sea mínima entonces tomamos la que arroja menor valor que es el vertice C = (3,2)
La función es mínima en el punto C = (3,2)
2) Tenemos que:
Maximizar: F(x,y) = 5x + 3y
S.A.
x + y ≤ 10
x - 2y ≤ 6
3x + 4y ≥ 24
x ≥ 0
y ≥ 0
Usaremos el método gráfico:
Si observamos la imagen adjunta 2 vemos en rosado las restricciones al problema de menor o igual y en azul las de mayor o igual, que fueron graficadas para encontrar la región factible que señalamos en turquesa.
Luego por programación lineal sabemos que los mínimos y máximos posibles están en los vértices de la región factible, en circulo podemos ver los vértices que son:
A: (0,10)
B: (0,6)
Y los puntos de intersección de las rectas:
i) y = 10 - x con y = 0.5x - 3
ii) y = 0.5x - 3 con y = 6-3/4x
Buscamos dichos puntos
i) 10 - x = 0.5x - 3
10 + 3 = 0.5x + 1
13 = 1.5x
x = 13/1.5 = 26/3 = 8.6667 entonces y = 0.5*8.6667 -3 = 4/3 = 1.3333
ii) 0.5x -3 = 6 - 3/4x
0.5x + 3/4x = 6 +3
5/4x = 9
x = 4/5*9 = 36/5 = 7.2 Entonces y = 0.5*7.2 - 3 = 0.6
Por lo tanto los otros vértices son:
C: (26/3, 4/3)
D: (7.2, 0.6)
Evaluamos en la función optima:
F(0,10) = 5*0 + 3*10 = 30
F(0,6) = 5*0 + 3*6 = 0+ 18 = 18
F(3,2) = 5*26/3 + 3*4/3 = 130/3 + 4 = 142/3 = 47.3333
F(7.2, 0.6) = 5*7.2 + 3*0.6 = 37.8
Como queremos que la función sea máxima entonces tomamos la que arroja mayor valor que es el vértice C = (26/3, 4/3)
La función es mínima en el punto C = (26/3, 4/3)
3) Tenemos:
Min. F(x, y) = 15x + 30y
S.A.
x + 5y ≥ 14
2x + y ≥ 10
x ≥ 0
y≥ 0
En la imagen adjunta 3 se observa que graficamos las restricciones en color rosado para obtener la región factible, la región marcada en azul es la región factible y en círculos observamos los vértices de la región factible
Luego visualizamos los vértices de la región factible que son:
A : (0,10) , B: (14, 0) y el punto de intersección entre:
x + 5y = 14
2x + y = 10
C: (4,2)
Por programación lineal sabemos que uno de los tres vértices es la solución optima. Reemplazamos cada uno de ellos en la función objetivo:
A : (0,10) entonces F(0,10) = 15*0 + 30*10 = 300
B: (14,0) entonces F(14,0) = 15*14 + 30*0 = 210
C: (4, 2) entonces F(4,2) = 15*4 + 30*2 = 120
Y como queremos que sea mínimo el que nos da el valor mínimo es el vértice C (4,2)
