Question

a)Demuestre que la fuerza que ejerce un agujero negro sobre una partícula de masa m viene dada por:
F = (mc²Rs)/(2r²)

donde Rs es el radio de Schwarzschild del agujero negro y r la distancia desde el agujero
negro hasta el objeto.
b) Cual es el valor de esta fuerza para el caso de una masa de 5 kg a 3 km del agujero
con Rs = 5 mm
c) Ahora calcule la masa de este agujero negro.

Answer 1

a) Para poder demostrar que la fuerza que ejerce un agujero negro (AN) sobre una partícula, se utilizan dos leyes aportadas por Isaac Newton: la Ley de la gravitación universal y la Ley de la Fuerza, donde:

$F=Fuerza~de~atracci\'on~entre~ambos~cuerpos=G\frac{M.m}{r^2}\\F=Fuerza~que~ejerce~el~Agujeros=mg\\Igualando~ambas~ecuaciones:\\F=G\frac{M.m}{r^2}=mg\rightarrow \frac{F}{m}=\frac{G\frac{M.m}{r^2}}{m}=g\\g=G\frac{M}{r^2}~(1)\\Por~parte~el~radio~de~{\bf Schwarzschild~es~R_s=2G\frac{M}{c^2}~(2)},\\despejando~el~factor~GM~(2),~GM=\frac{c^2Rs}{2}~(3)\\Pero~\frac{F}{m}=G\frac{M}{r^2}=\frac{\frac{c^2Rs}{2}}{r^2}=\frac{c^2Rs}{2r^2}\rightarrow F=\frac{c^2mRs}{2r^2}$

b) $F=\frac{5kg.3.10^8\frac{m}{s}.5.10^{-3}m}{2.3.10^3m}={\bf 1,25.10^9Nw}$

c) $g=\frac{F}{m}=G\frac{M}{r^2} \rightarrow M=\frac{r^2F}{mG}=\frac{(3.10^3m)^2.1,25.10^9Nw}{5kg.6,67.10^{-11}Nwm^2/kg^2}={\bf 33,73.10^{24}kg}$