Question

Hallar el valor de k para que:
Una raiz sea -2 en la ecuación:
( k² - 3 ) x² - 3 ( k - 1) x -5 k = 0

Answer 1

La descomposición en factores primos de un trinomio de segundo grado es:

m (x - a) (x - b) = 0: según se sabe una de las raíces es - 2 

Hacemos b = - 2 y nos queda m (x - a) (x + 2) = 0

Quitamos los paréntesis; m x² + m (2 - a) x - 2 a m = 0

Comparamos con la ecuación propuesta:

m = k² - 3
m (2 - a) = - 3 (k - 1)
- 2 a m = - 5 k

Tenemos un sistema de segundo grado de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Para ser breves resuelvo directamente (hay que hacer sustituciones varias)

Las soluciones para las incógnitas son:

a = 5; k = 2; m = 1

a = - 30/11; k = - 9/4; m = 13/16

Para el primer conjunto solución la ecuación es:

(2² - 3) x² - 3 (2 -1) x - 5 . 2 = 0; o bien:

x² - 3x  - 10 = 0

Sus raíces son x = - 2, x = 5

Para el segundo conjunto:

[(-9/4)² - 3] x² - 3 (- 9/4 - 1) x - 5 (- 9/4) = 0; o bien:

33/16 x² + 39/4 x + 45/4 = 0

Sus raíces son x = - 2; x = - 30/11

Saludos Herminio