Una pequeña corporación de software tomó un préstamo por $500,000 para expandir su línea de software. Parte del préstamo fue a 9%, otra parte a 10% y otra a 12% de interés. Use un sistema de ecuaciones para determinar cuánto se tomó en préstamo a cada tasa sí el interés anual fue de $52,000 y la cantidad prestada a 10% fue 2½ veces la cantidad prestada a 9%. Resuelva el sistema usando matrices.
Respuestas
La cantidad prestada al 9% fue X = $ 100 000. La cantidad prestada al 10% fue Y = $ 250 000. La cantidad prestada al 12% fue Z = $ 150 000.
De las condiciones del problema sabemos
Préstamo => X + Y + Z = 500 000
Interés anual => 0,09X + 0,1Y + 0,12Z = 52 000
También sabemos que Y = 2,5X
Sustituimos Y = 2,5X en las ecuaciones del préstamo y del interés y obtenemos un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
3,5X + Z = 500 000
0,34X + 0,12Z = 52 000
Aplicando la regla de Cramer (determinantes) se obtiene
X = ΔX/ΔS
Z = ΔZ/ΔS
Siendo:
ΔX: Determinante de X
ΔZ: Determinante de Z
ΔS: Determinante del sistema
Entonces:
X = 8000 / 0,08 => X = 100 000
Z = 12 000 / 0,08 => Z = 150 000
Y = 2,5X = (2,5)(100 000) => Y = 250 000
Los cálculos de ΔS, ΔX y ΔZ (en ese orden), se pueden ver en las gráficas anexas.
