Question

Se tiene un triángulo ABC recto en B. si sumamos las longitudes de los lados BC y AC y el resultado lo elevas al cuadrado obtienes 9 veces el producto de las longitudes de dichos lados. Calcula senA+csnA

Answer 1

De las relaciones dadas entre los lados del triángulo, la suma del Seno y la Cosecante del ángulo señalado es: senA  +  csnA  =  7

1.- Ya que en el triángulo ABC  se cumple que la suma de las longitudes de los lados BC y AC elevada al cuadrado es 9 veces el producto de las longitudes de dichos lados, se obtiene la siguiente ecuación:

(BC  +  AC)²  =  9(BC)(AC)        ⇒

(BC)²  +  2(BC)(AC)  +  (AC)²  =  9(BC)(AC)        ⇒

(BC)²  +  (AC)²  =  7(BC)(AC)

2.- Vamos a usar el Teorema del Seno, recordando que el ángulo B es un ángulo recto, para tener una relación entre los lados AC y BC que nos permita despejar uno en función de otro y sustituir en la ecuación obtenida en 1.-:

$\frac{AC}{sen(B)}=\frac{BC}{sen(A)}$        ⇒

$AC=\frac{BC}{sen(A)}$        ⇒        $(AC)^{2} =\frac{(BC)^{2}}{(sen(A))^{2}}$

3.- Sustituimos los términos en AC, obtenidos en 2.-, en la ecuación obtenida en 1.-:

$(BC)^{2}+\frac{(BC)^{2}}{(sen(A))^{2}}=7(BC)\frac{BC}{sen(A)}$        ⇒

$(BC)^{2}(1+\frac{1}{(sen(A))^{2}})=7\frac{(BC)^{2}}{sen(A)}$        ⇒

$(sen(A))(1+\frac{1}{(sen(A))^{2}})=7$        ⇒        $(sen(A)+\frac{1}{(sen(A))})=7$        ⇒

$sen(A)+csn(A)=7$