Question

Una empresa produce interruptores y ha establecido que el promedio de
interruptores vendidos diariamente tiene una distribución normal, con un
promedio de 200 unidades diarias y desviación estándar de 45 unidades.
Determine la probabilidad de ventas:
.Menores a 220 unidades.
. Inferiores a 120 unidades.
. Que oscilan entre 260 y 300 unidades.
. Que oscilan entre 160 y 260 unidades.
. La cantidad de interruptores que deberá producirse, si se considera los
costos de producción para atender una demanda diaria del 80%.

Answer 1

Determinamos la probabilidad de ventas de interruptores, así como la cantidad de interruptores que deben producirse.

• La probabilidad de vender menos de 220 unidades es 67%.
• La probabilidad de vender menos de 120 unidades es 4%
• La probabilidad de vender entre 260 y 300 unidades es 8%.
• La probabilidad de vender entre 160 y 260 unidades es 72%.
• Se deben producir n = 250 interruptores diarios.

Datos:

Promedio de interruptores diarios: μ = 200 unidades.

Desviación estándar: σ = 45 unidades.

Procedimiento:

Para calcular la probabilidad debemos estandarizar los parámetros, sabiendo que esta tiene una distribución normal. Para eso calculamos los valores de Z:

$\boxed{Z = \frac{\big{X - \mu}}{\big{\sigma}} }$

• Para ventas menores a 220 unidades P(X ≤ 220):

$Z = \frac{\big{220-200}}{\big{45}} = 0,44$

De esta forma, el valor de probabilidad estandarizado que debemos buscar es P(Z ≤ 0,44). Para determinar el valor de probabilidad, usamos una tabla de distribución normal estandarizada Z o en el Excel usando la siguiente formula =DISTR. NORM. ESTAND. N(0,44;VERDADERO).

Así tenemos que el valor de probabilidad es P(Z ≤ 0,44) = 0,6700. Este valor se puede representar en porcentaje multiplicando por cien. Así tenemos que la probabilidad de vender menos de 220 unidades es 67%.

• Para ventas menores a 120 unidades P(X ≤ 120):

$Z = \frac{\big{120-200}}{\big{45}} = -1,78$

Obtenemos que la probabilidad es P(Z ≤ -1,78) = 0,0375. Lo que representa el 3,75% ≈ 4%.

• Que las ventas oscilen entre 260 y 300 unidades P(260 ≤ X ≤ 300):

$Z_1 = \frac{\big{260-200}}{\big{45}} = 1,33$

$Z_2 = \frac{\big{300-200}}{\big{45}} = 2,22$

Tenemos las siguientes probabilidad:

P(Z ≤ 1,33) = 0,9082.

P(Z ≤ 2,22) = 0,9868.

Como la distribución es continua, entonces para obtener la probabilidad del intervalo entonces restamos las probabilidades:

P(1,33 ≤ X ≤ 2,22) = P(Z ≤ 2,22) - P(Z ≤ 1,33) = 0,9868 - 0,9082 = 0,0785

Es decir la probabilidad es de 7,85% ≈ 8%.

• Que las ventas oscilen entre 160 y 260 unidades P(160 ≤ X ≤ 260):

$Z_1 = \frac{\big{160-200}}{\big{45}} = -0,88$

$Z_2 = \frac{\big{260-200}}{\big{45}} = 1,33$

Tenemos las siguientes probabilidad:

P(Z ≤ -0,88) = 0,1894.

P(Z ≤ 1,33) = 0,9082.

P(-0,88 ≤ X ≤ 1,33) = P(Z ≤ 1,33) - P(Z ≤ -0,88) = 0,9082 - 0,1894 = 0,7188

Es decir la probabilidad es de 71,88% ≈ 72%.

• Para obtener la cantidad de interruptores que deben producirse partimos que la media se calcula con la siguiente formula:

$\boxed{\mu=n*p}$

Como conocemos el valor de μ = 200 y la probabilidad de demanda diaria es p = 0,80 entonces:

$n = \dfrac{\mu}{p} \quad \longrightarrow n=\dfrac{200}{0,8} = 250$