Question

Hola , Una ayuda por favor con esta ecuacion diferencial

Answer 1

La Ecuación Diferencial (ed) $(-4x+3y-7)dx-(x+1)dy=0$   es una ed lineal de primer orden y primer grado, cuya solución general es $y=2(x+1)+1+C(x+1)^{3}$.

Explicación:

Una ed lineal de primer orden y primer grado se expresa de la siguiente manera:

$\frac{dy}{dx}+P_{(x)}y=Q_{(x)}$

La solución general de esta ed viene dada por:

$ye^{\int{P_{(x)}} \, dx}=\int{Q_{(x)}}}e^{\int{P_{(x)}} \, dx}\, dx$

En el caso que nos ocupa:

1.- Reescribimos la ed:

$(-4x+3y-7)dx-(x+1)dy=0$    ⇒    $(-4x+3y-7)dx=(x+1)dy$    ⇒

$\frac{(-4x+3y-7)}{(x+1)}=\frac{dy}{dx}$    ⇒    $\frac{dy}{dx}-\frac{3y}{(x+1)}=\frac{(-4x-7)}{(x+1)}$

2.- Identificamos las funciones P y Q

$P_{(x)}=-\frac{3}{(x+1)}$

$Q_{(x)}=\frac{(-4x-7)}{(x+1)}$

3.- Sustituimos en la fórmula de solución:

Primero

$e^{\int{P_{(x)}} \, dx}=e^{\int{(-\frac{3}{(x+1)})} \, dx}$    ⇒    

$e^{\int{P_{(x)}} \, dx}=e^{-3Ln(x+1)}=e^{-3Ln(x+1)}=e^{Ln(x+1)^{-3}}=(x+1)^{-3}$

Segundo  

$\int{Q_{(x)}}}e^{\int{P_{(x)}} \, dx}\, dx=\int{(x+1)^{-3}\frac{(-4x-7)}{(x+1)}}\, dx=\int{\frac{(-4x-7)}{(x+1)^{4}}}\, dx$

Aplicando el cambio de variable:     U  =  x  +  1

$\int{\frac{(-4x-7)}{(x+1)^{4}}}\, dx=\int{\frac{(-4u-3)}{(u)^{4}}}\, du=\frac{2}{u^{2}}+\frac{1}{u^{3}}+C$    ⇒

$\int{Q_{(x)}}}e^{\int{P_{(x)}} \, dx}\, dx=\frac{2}{(x+1)^{2}}}+\frac{1}{(x+1)^{3}}+C$

Tercero

$ye^{\int{P_{(x)}} \, dx}=\int{Q_{(x)}}}e^{\int{P_{(x)}} \, dx}\, dx$    ⇒

$y(x+1)^{-3}=\frac{2}{(x+1)^{2}}}+\frac{1}{(x+1)^{3}}+C$    ⇒

$y=2(x+1)+1+C(x+1)^{3}$