Hallar el menor de dos números enteros, sabiendo que la suma de sus cuadrados es 10530 y su MCM 297.
Respuestas
Respuesta.
El menor de los números es el 27
Explicación paso a paso:
Datos.
mcm = 297
La suma de sus cuadrados = 10530
Los números los llamamos x , y
mcm(x . y) = 297 (1)
x² + y² = 10530 (2)
Al dividir el mcm por cada número se obtienen dos números que son primos entre si.
Los números los llamamos p₁ y p₂
297
------- = P₁
x
p₁ y p₂ Son primos entre si
297
------- = p₂
y
Despejamos x , y
297 297
------ = x --------- = y Reemplazamos estos valores en (2)
p₁ p₂
x² + y² = 10530
(297)² (297)²
-------- + ------------- = 10530
p₁² p₂²
(297)²p₂² + (297)²p₁²
------------------------------- = 10530 Sacamos factor común (297)²
p₁² . p₂²
(297)²(p₂² + p₁²)
------------------------- = 10530
p₁² . p₂²
p₂² + p₁² 10530
-------------- = -----------------
p₁² . p₂² (297)²
p₂² + p₁² 10530
-------------- = ---------------------- Simplificamos sacaos 3ra
p₁² . p₂² (297)(297)
p₂² + p₁² 3510
-------------- = --------------------- Simplificamos sacamos 3ra
p₁² . p₂² (99)(297)
p₂² + p₁² 1170
-------------- = --------------------- Simplificamos sacamos 3ra
p₁² . p₂² (99)(99)
p₂² + p₁² 390
-------------- = --------------------- Simplificamos sacamos 3ra
p₁² . p₂² (33)(99)
p₂² + p₁² 130
-------------- = --------------------- Simplificamos sacamos 3ra
p₁² . p₂² (11)(99)
p₂² + p₁² 130
-------------- = --------------------- p₁² = 11² , entonces p₁ = 11
p₁² . p₂² (11)(11*9) p₂² = 9 , entonces p² = 3
Podemos hallar x , y
x = 297/p₁
x = 297/11
x = 27
y = 297/p₂
y = 297/3
y = 99
Respuesta es 99 Saludos :)