Question

Se sabe que una Progresion Aritmetica, el término que ocupa el lugar 18 es 16 y el término que ocupa el lugar 30 es 48. Hallar la razón

Alguien que pueda resolverlo que lo intente de varios métodos y no se puede, yo creo que algo está mal en la pregunta

Answer 1

La razon o diferencia es 8/3

Recordemos como esta daba una progresion aritmetica:

an = a1 + (n - 1)d

Donde:

an = Valor que toma el termino que ocupa el termino n

a1 = Valor inicial

n = Lugar que ocupa an en la progresion

d = Razon o diferencia

Para nuestro caso:

Cuando n = 18; a18 = 16

16 = a1 + (18 - 1)d

16 = a1 + (17)d

16 = a1 + 17d (Ecuacion 1)

Cuando n = 30; a30 = 48

48 = a1 + (30 - 1)d

48 = a1 + (29)d

48 = a1 + 29d (Ecuacion 2)

En ecuacion 1:

a1 = 16 - 17d

En ecuacion 3:

a1 = 48 - 29d

a1 = a1

16 - 17d = 48 - 29d

29d - 17d = 48 - 16

12d = 32

d = 32/12 = 8/3

Ahora a1:

a1 = 16 - 17(8/3)

a1 = 16 - 136/3

a1 = 48/3 - 136/3

a1 = -88/3

an = (-88/3) + (n - 1)(8/3)

Probemos para n = 18

a18 = (-88/3) + (18 - 1)(8/3)

a18 = (-88/3) + (17)(8/3)

a18 = (-88/3) + (136/3)

a18 = (-88 + 136)/3 = 48/3

a18 = 16

Para n = 30

a30 = (-88/3) + (30 - 1)(8/3)

a30 = (-88/3) + (29)(8/3)

a30 = (-88/3) + (232/3)

a30 = (-88 + 232)/3 = 144/3

a30 = 48

Como vemos en ambos casos cumple

Answer 2

La razón de la progresión aritmética es  8/3.

¿Podemos aplicar la definición de progresión aritmética?

Si, podemos usar la definición de progresión aritmética, que es una serie de términos ordenados con diferencias aditivas uniformes entre ellos.

Para conocer la razón de la progresión se construye un sistema de ecuaciones lineales basado en la fórmula del término n-ésimo y cada uno de los  términos dados. Para ello usaremos la nomenclatura de la tabla de fórmulas anexa:

an  =  a1  +  (n  -  1) · d

El término que ocupa el lugar  18  es  16

a18  =  16                        n  =  18

16  =  a1  +  (18  -  1) · d

El término que ocupa el lugar  30  es  48

a30  =  48                        n  =  30

48  =  a1  +  (30  -  1) · d

El sistema de ecuaciones lineales es:

16  =  a1  +  (18  -  1) · d

48  =  a1  +  (30  -  1) · d

Resolvemos por el método de reducción, multiplicando la primera ecuación por  -1  y sumando para despejar la razón  d:

-16  =  -a1  -  17 d

48  =  a1  +  29 d    

32  =  12 d          ⇒       d  =  32 / 12  =  8 / 3

La razón de la progresión aritmética es  8/3.

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