Question

Si al dividir: P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + 3x + 1 entre x2 − x + 1 se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 22 y un resto R(x) = 10x − 1. Hallar a + c.

Answer 1

a  +  c  =  65    dado que      a  =  29    y    c  =  36

Explicación paso a paso:

Vamos a aplicar la fórmula general de una división:

$\frac{Dividendo}{divisor}=Cociente+\frac{Resto}{divisor}$

1.- En el caso que nos ocupa:

$\frac{ ax^{4}+ bx^{3}+ cx^{2}+3x+1}{ x^{2}-x+1}= (ax^{2}+(a+b)x+(c+b))+ \frac{ (3-a+c)x-(c+b+1)}{ x^{2}-x+1}$

De esta operación se obtiene:

Cociente  =  ax^{2}+(a+b)x+(c+b)

Resto  =  (3-a+c)x-(c+b+1)

2.- Construimos un sistema de ecuaciones con los coeficientes del cociente y del resto:

a  +  (a  +  b)  +  (c  +  b)  =  2a  +  2b  +  c  =  22

3  -  a  +  c  =  10

-(c  +  b  +  1)  =  -1

3.- Resolvemos el sistema para  a   y   c:

a  = 29

c  =  36

4.- La interrogante planteada es el valor de    a  +  c:

a  +  c  =  65