En una isla, en la que no había venados, se introduce una cierta cantidad de estos animales. Al principio la manada empezó a crecer rápidamente, pero después de un tiempo, por falta de alimentos, la población comenzó a decrecer. La fórmula de la función que indica la cantidad de venados en función del tiempo es: N(t)= -1( 11) 196 Donde t es el tiempo medido en años y N es el número de venados a lo largo del tiempo. a) ¿Cuántos venados se introdujeron en la isla? b) Determina los valores de t para los cuales la población aumenta y para cuales disminuye. c) ¿Cuál fue la mayor cantidad de venados que hubo en la isla? d) ¿Se extinguen en algún momento los venados? ¿Cuántos años pasan?
Respuestas
Respuesta:
a)
Los puntos de corte (cero truchas) son –t^2 +21t + 100=0, t^2 -21t -100 = 0
Y resolviendo la ecuación de segundo grado, t=25, t=-4 Pero como t no puede ser negativo, los valores positivos de N(t) son los comprendidos entre cero y 25
b)
Luego, en efecto, se extingue la población para t = 25
El máximo de truchas se da en
N’(t) = -2t + 21 = 0
t = 21/2 = 10.5 años
Y el número que se alcanza es N(10.5) = -2•10.5^2 + 21• 10.5 +100 = 210.25. y como el resultado ha de ser entero, el resultado es 210 truchas.
Explicación paso a paso:
La cantidad inicial de venados es de 75 venados, la cantidad máxima es de 196 venados y se extinguen luego de 25 años
Función de cantidad de venados
La función que nos permite conocer la cantidad de venados es igual a:
N(t) = -1 (t - 11)² + 196
Donde t es el tiempo medido en años y N es el número de venados a lo largo del tiempo
Análisis de las preguntas presentadas
a) ¿Cuántos venados se introdujeron en la isla?
Se obtienen en t = 0 y podemos ver que son
-1(0 - 11)² + 196 = -121 + 196 = 75 venados
b) Determina los valores de t para los cuales la población aumenta y para cuales disminuye.
Calculamos el máximo de la función derivando e igualando a cero:
-2(t - 11)*1 = 0
-2(t - 11) = 0
t - 11 = 0
t = 11
Entonces para t = 0 hasta t = 11 aumenta y luego comienza a disminuir
c) ¿Cuál fue la mayor cantidad de venados que hubo en la isla?
Se logra cuando t = 11
-1(11 - 11)² + 196 = 196 venados
¿Se extinguen en algún momento los venados? ¿Cuántos años pasan?
Esto ocurre si N(t) = 0
0 = -1 (t - 11)² + 196
(t - 11)² = 196
t² - 22t + 121 - 196 = 0
t² - 22t - 75 = 0
(t - 25)(t + 3) = 0
Como t es positivo t = 25
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