a) U = <3,4>; α = 8; β = 3 que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 8 denominado Ley distributiva; siendo α y β variables escalares.
b) U = <3, 4,10>; W = <8, 5, 6>; V= <11, 9,16> vectores que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 1 denominado Ley de la cerradura; siendo que V es el vector resultante de la suma de vectores.
Respuestas
El axioma consiste en demostrar que (α + β)U = αU + βU y lo demostramos sustituyendo en cada lado de la ecuación donde obtenemos que.
Con estos vectores se cumple la ley de cerradura, que establece que sean dos vectores que pertenecen a un espacio vectorial, el vector resultante de la suma de los mismos pertenece también al espacio vectorial
El axioma 8 de espacio vectorial denominado ley distributiva: establece que sea un elemento U del espacio vectorial V y dos escalares de su campo α,β entonces, se cumple que:
(α + β)U = αU + βU
También sabemos que la multiplicación de vectores por escalares, se multiplica cada componente del vector por el escalar y la suma de vectores se hace componente a componente.
Procedemos entonces a calcular cada parte de axioma donde tenemos dos escalares y un vector, para luego demostrar que son iguales:
(α + β)U = (8 + 3)*<3,4> = 11*<3,4> = <33,44> (**)
Por otro lado:
αU + βU = 8*<3,4> + 3*<3,4>
= <24,32> + <9,12> = <33,44> (***)
Por lo tanto de (**) y (***) tenemos que>
(α + β)U = <33,44> = αU + βU
Por transitividad:
(α + β)U = αU + βU
El axioma 1 de un espacio vectorial indica que: sean dos vectores que pertenecen a un espacio vectorial, el vector resultante de la suma de los mismos pertenece también al espacio vectorial, es decir, sea U1 y U2 elementos de un espacio vectorial, entonces:
U1+U2 = U3 pertenece también al espacio vectorial.
Tenemos que los vectores U = <3, 4,10>; W = <8, 5, 6>; V= <11, 9,16> pertenecen al espacio vectorial
Para demostrar el axioma tomamos U+W
U+W = <3, 4,10> + <8, 5, 6> = <11, 9,16> = V
y ya dijimos que V pertenece al espacio vectorial, por lo tanto vemos que con estos vectores se cumple la ley de cerradura.