Question

Se presentan 10 estudiantes para hacer su solicitud de inscripción a una carrera. La probabilidad de que un alumno cualquiera llene la solicitud correctamente es 70%. Si todos los alumnos llenan la solicitud de manera independiente. Determine la probabilidad que:
. 4 alumnos llenen la solicitud correctamente.
. 3 o menos estudiantes llenen correctamente la solicitud.
. 5 o más estudiantes llenen correctamente la solicitud

Answer 1

Establecemos la probabilidad que estudiantes llenen la planilla de solicitud correctamente.

• La probabilidad que 4 estudiantes la llenen correctamente es 2%
• La probabilidad menos de 3 estudiantes la llenen correctamente es 0,3%.
• La probabilidad que más de 5 estudiantes la llenen correctamente es 92%.

Datos:

Número de estudiantes que llenan la planilla: n = 10.

Probabilidad de llenar la planilla correctamente: p = 0,7.

Probabilidad de llenar la planilla incorrectamente: 1 - p = 0,3

Procedimiento:

Para realizar los cálculos de probabilidad, transformamos los datos de una distribución binomial a datos con distribución normal, los cuales podemos estandarizar.

Para calcular la media:

$\mu = n*p \quad \longrightarrow \quad \mu=10*0,7=7$

Para calcular la desviación estándar:

$\sigma =\sqrt{n*p*(1-p)} \quad \longrightarrow \sigma = \sqrt{10*0,7*0,3} =1,45$

Siguiendo una distribución normal, estos valores se pueden estandarizar para obtener la probabilidad. Para obtener el valor estandarizado Z, usamos la siguiente formula:

$\boxed{Z = \frac{X-\mu}{\sigma}}$

• La probabilidad que 4 alumnos llenen la solicitud correctamente (X ≤ 4).

$Z = \frac{\big{4-7}}{\big{1,45}} = -2,07$

Para determinar la probabilidad del valor de Z estandarizado, usamos una tabla de distribución estándar Z o la siguiente formula en Excel =DISTR. NORM. ESTAND. N(-2,07;VERDADERO)

Así tenemos que la probabilidad P(Z ≤ -2,07) = 0,0192.

Si multiplicamos el valor por cien, obtenemos el resultado expresado en porcentaje. Así la probabilidad es 1,92% ≈ 2% de los alumnos llenarán la planilla de forma correcta.

• La probabilidad que menos de 3 alumnos llenen la solicitud correctamente (X ≤ 3).

$Z = \frac{\big{3-7}}{\big{1,45}} = -2,76$

Tenemos que la probabilidad P(Z ≤ -2,76) = 0,0029.

Es decir, cerca de 0,3% de los alumnos llenarán la planilla de forma correcta.

• La probabilidad que más de 5 alumnos llenen la solicitud correctamente (X ≥ 5).

$Z = \frac{\big{5-7}}{\big{1,45}} = -1,38$

La probabilidad de P(Z ≤ -1,38) = 0,0838, pero necesitamos conocer la probabilidad P(Z ≥ -1,38), para esto hacemos la siguiente operación:

P(Z ≥ -1,38) = 1 - P(Z ≤ -1,38) = 1 - 0,0838 = 0,9162.

Es decir, cerca de 92% de los alumnos llenarán la planilla de forma correcta.