Se sabe que el 3° y el 6° término de una P.A. suman 57; ademas que el 5° y el 10° suman 99. ¿Cuáles son estos cuatro término?
Respuestas
Los cuatro términos de una progresión aritmética, donde el 3° y el 6° términos suman 57 y el 5° y el 10° suman 99, son: 18, 32, 39 y 67.
Datos:
a₃ + a₆ = 57
a₅ + a₁₀ = 99
Sabemos que la fórmula general del término enésimo en una progresión aritmética es:
aₙ = a₁ + (n – 1)d
Entonces podemos convertir los datos en:
(a₁ + 2d) + (a₁ + 5d) = 57 → 2a₁ + 7d = 57 Ecuación 1
(a₁ + 4d) + (a₁ + 9d) = 99 → 2a₁ + 13d = 99 Ecuación 2
Resolvemos este sistema de ecuaciones por reducción:
2a₁ + 13d = 99
-2a₁ – 7d = -57
___________
6d = 42
d = 7
Sustituimos este valor en la ecuación 1 para calcular a₁
2a₁ + 7(7) = 57
2a₁ + 49 = 57
2a₁ = 57 – 49
a₁ = 8/2
a₁ = 4
Sustituimos valores para calcular cada término:
a₃ = 4 + 2(7)
a₃ = 18
a₆ = 4 + 5(7)
a₆ = 39
a₅ = 4 + 4(7)
a₅ = 32
a₁₀ = 4 + 9(7)
a₁₀ = 67
La sucesión completa es: 4; 11; 18; 25; 32; 39; 46; 57; 60; 67