Question

Calcula el máximo valor de: W = 2Senx -3Cosy - Sen²z ; x ≠ y ≠ z

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Funciones Trigonométricas

$\textbf{Problema :}$

Calcula el máximo valor de $W = 2\ \textrm{sen}(x) - 3\ \textrm{cos}(y) - \textrm{sen}^{2}(z)$

RESOLUCIÓN

Debido a que las variables son independientes entre sí aprovechemos esto para encontrar el máximo valor de $W$ encontrando por separado el máximo valor de cada expresión.

Sabemos que

                                             $-1 \leq \textrm{sen}(x) \leq 1$

Entonces

                                             $-2 \leq 2\ \textrm{sen}(x) \leq 2$

De aquí el máximo valor de $2\ \textrm{sen}(x)$ es $\boldsymbol{2}$

Análogamente.

                                             $-3 \leq -3\ \textrm{cos}(y) \leq 3$

De aquí el máximo valor de $-3\ \textrm{cos}(y)$ es $\boldsymbol{3}$

Análogamente

                                             $0 \leq \textrm{sen}^{2}(z) \leq 1$

                                           $-1 \leq - \textrm{sen}^{2}(z) \leq 0$

De aquí el máximo valor de $- \textrm{sen}^{2}(z)$ es $\boldsymbol{0}$

Note que las funciones trigonométricas son funciones periódicas, es decir, no debemos preocuparnos por los valores que asumen las incognitas de tal modo que sean diferentes (como indica el problema) ya que, por ejemplo, para $\textrm{sen}(x) = 1$ existen una infinidad de valores para $x$ que cumpla la igualdad. En el problema los valores de cada incognita pueden ser $x = \dfrac{\pi}{2}\ ,\ y = \pi\ \textrm{y} \ z = 2 \pi$ Los cuales son diferentes según indica el problema pero como mencionamos no debemos preocuparnos por ello.

Entonces $W_{\textrm{m\'ax}} = 2+3+0 = 5$

Se concluye que el máximo valor de $W$ es $W = 5$

RESPUESTA

$\boxed{W = 5}$