Nelly ha llevado a un grupo de no más de 400 niños al parque infantil y observa que si los agrupa de 5 en 5, de 7 en 7 o de 9 en 9 siempre sobran 3, ¿cuantos niños llevo Nelly?
Respuestas
Respuesta: Nelly llevó a 318 niños al parque.
Explicación paso a paso:
Vamos a llamar N al número de niños que llevó Nelly al parque.
Vamos a indicar con el exponente ᶬ que un número es múltiplo de la base.
Nos dicen que si agrupa los niños de 5 en 5 le sobran 3
Esto se puede expresar como N = 5ᶬ + 3
Nos dicen que si agrupa los niños de 7 en 7 le sobran 3
Esto se puede expresar como N = 7ᶬ + 3
Nos dicen que si agrupa los niños de 9 en 9 le sobran 3
Esto se puede expresar como N = 9ᶬ + 3
Hay una propiedad de los múltiplos que dice que si un número es múltiplo de dos o más números, entonces es múltiplo del mínimo común múltiplo de esos números.
N = 5ᶬ + 3
N = 7ᶬ + 3
N = 9ᶬ + 3
Como el número buscado es múltiplo de 5, 7 y 9, y sobran 3 unidades, entonces será múltiplo del mínimo común múltiplo de estos números, y sobran 3 unidades:
N = [M.C.M.(5,7,9)]ᶬ + 3
factorizamos estos números
5 = 5
7 = 7
9 = 3×3
El mínimo común múltiplo de estos números es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente:
El mínimo común múltiplo de 5,7,9 = 5×7×3² = 315
N = 315ᶬ + 3 => el número de niños debe ser múltiplo de 315 y sobran 3 unidades.
Los números de niños que cumplen las condiciones son de la manera:
N = n×315 + 3 siendo n∈ℕ
N₁= 1×315 + 3 = 318 niños, como el enunciado dice que el número buscado es menor que 400 niños, esta es la única solución.
Respuestas: Nelly llevó 318 niños al parque.
Verificación
N₁ = 318 niños de 5 en 5 sobran → 318(mod 5) = 3, sobran 3
[318/5 = 63,... ], [63×5 = 315] , [318-315 = 3]
N₁ = 318 niños de 7 en 7 sobran → 318(mod 7) = 3, sobran 3
[318/7 = 45,... ], [45×7 = 315] , [318-315 = 3]
N₁ = 318 niños de 9 en 9 sobran → 318(mod 9) = 3, sobran 3
[318/9 = 35,... ], [35×9 = 315] , [318-315 = 3]
Queda comprobado que este número cumple las condiciones.