Question

El tiempo de duración de litio para laptos(en meses) que produce una campañia americana se distribuye en forma normal. Si el 15% de estas baterías Durán menos de 10 meses y el 8% Durán al menos 13 meses. Calcular la media y la varianza de la duración de las baterias

Answer 1

Determinamos la media y la varianza de la duración de las baterías.

• La media es μ = 11,28 meses y la varianza σ² = 1,49.

Datos:

Valor de la variable aleatoria 1: X₁ = 10 meses.

Probabilidad de la variable aleatoria 1: P(X ≤ 10) = 15%

Valor de la variable aleatoria 2: X₂ = 13 meses.

Probabilidad de la variable aleatoria 2: P(X ≥ 13) = 8%.

Procedimiento:

Para determinar la media y la varianza, lo primero que debemos hacer es determinar los valores estandarizados, según la siguiente expresión de la distribución normal estándar:

$\boxed{Z = \frac{\big{X - \mu}}{\big{\sigma}}}$

Los valores de Z, se obtienen a partir del valor de la probabilidad. Estos se pueden determinar buscando en una tabla de valores de distribución normal Z o por medio de la siguiente formula de Excel: =DISTR. NORM. ESTAND. INV(15%).

Así tenemos que para P(X ≤ 10) = 15%, el valor de Z₁ = -1,04. Es importante indicar que la formula da los valores de Z que se encuentran al lado izquierdo de la distribución, por eso para obtener el siguiente valor debemos realizar la siguiente operación P(X ≤ 13) = 100 - P(X ≥ 13) = 100 - 8 = 92%, resultado un valor de Z₂ = 1,41.

Con estos valores, tenemos 2 ecuaciones:

$Z_1 = \frac{\big{X_1 - \mu}}{\big{\sigma}} \quad \longrightarrow -1,04= \frac{\big{10 - \mu}}{\big{\sigma}} \quad \longrightarrow -1,04\sigma = 10-\mu$

$Z_2 = \frac{\big{X_2 - \mu}}{\big{\sigma}} \quad \longrightarrow 1,41= \frac{\big{13 - \mu}}{\big{\sigma}} \quad \longrightarrow 1,41\sigma = 13-\mu$

Si despejamos el valor de la media (μ) de la primera ecuación y lo sustituimos en la segunda ecuación tenemos:

$\mu = 10+1,04\sigma \quad\textbf{Ecuacion 1}$

$1,41\sigma=13-(10+1,04\sigma) \quad \textbf{Ecuacin 2}\longrightarrow 2,45\sigma=3\\\\\sigma=\frac{\big{3}}{\big{2,45}}$

Con la desviación estándar (σ = 1,22), al sustituir en la primer ecuación obtenemos que la media es μ = 11,28.

Finalmente la varianza es el cuadrado de la desviación estándar por eso σ² = (1,22)² = 1,49.