Question

El tiempo de duración de baterías de Litio para Laptops (en meses) que produce una Compañía Americana se distribuye en forma normal. Si el 15% de estas baterías duran menos de 10 meses y el 8% duran al menos 13 meses. Calcular la media y la varianza de la duración de las baterías.

Answer 1

Determinamos la media y la varianza de la duración de las baterías.

• La media es μ = 11,28 meses y la varianza σ² = 1,49.

Datos:

Valor de la variable aleatoria 1: X₁ = 10 meses.

Probabilidad de la variable aleatoria 1: P(X ≤ 10) = 15%

Valor de la variable aleatoria 2: X₂ = 13 meses.

Probabilidad de la variable aleatoria 2: P(X ≥ 13) = 8%.

Procedimiento:

Para determinar la media y la varianza, lo primero que debemos hacer es determinar los valores estandarizados, según la siguiente expresión de la distribución normal estándar:

$\boxed{Z = \frac{X-\mu}{\sigma}}$

Los valores de Z, se obtienen a partir del valor de la probabilidad. Estos se pueden determinar buscando en una tabla de valores de distribución normal Z o por medio de la siguiente formula de Excel: =DISTR. NORM. ESTAND. INV(15%).

Así tenemos que para P(X ≤ 10) = 15%, el valor de Z₁ = -1,04. Es importante indicar que la formula da los valores de Z que se encuentran al lado izquierdo de la distribución, por eso para obtener el siguiente valor debemos realizar la siguiente operación P(X ≤ 13) = 100 - P(X ≥ 13) = 100 - 8 = 92%, resultado un valor de Z₂ = 1,41.

Con estos valores, tenemos 2 ecuaciones:

$Z_1 = \frac{\big{X_1-\mu}}{\big{\sigma}} \quad \longrightarrow -1,04= \frac{\big{10-\mu}}{\big{\sigma}} \quad \longrightarrow -1,04\sigma=10-\mu$

$Z_2 = \frac{\big{X_2-\mu}}{\big{\sigma}} \quad \longrightarrow 1,41= \frac{\big{13-\mu}}{\big{\sigma}} \quad \longrightarrow 1,41\sigma=13-\mu$

Si despejamos el valor de la media (μ) de la primera ecuación y lo sustituimos en la segunda ecuación tenemos:

$\mu=10+1,04\sigma \:\textbf{Ecuacion\:1}}\\\\1,41\sigma =13-(10+1,04\sigma) \quad \longrightarrow (1,41+1,04)\sigma=3 \:\textbf{Ecuacion\:2}\\\\ \sigma = \frac{\big{3}}{\big{2,45}} =1,22$

Con la desviación estándar (σ = 1,22), al sustituir en la primer ecuación obtenemos que la media es μ = 11,28.

Finalmente la varianza es el cuadrado de la desviación estándar por eso σ² = (1,22)² = 1,49.