La pistola S&W29 dispara proyectiles Magnum de masa m = 16.7 g con una rapidez de 386.4 m/s. La bala se incrusta en un bloque de madera de un péndulo balístico de masa M = 2.3 kg, como se muestra en la figura. Calcule el ángulo theta que forma la cuerda de longitud L = 12.3 m con la vertical, cuando el sistema bala-bloque alcanza su altura máxima.
Respuestas
Respuesta:
El dispositivo al que se hace referencia en el planteamiento del
problema se denomina péndulo balístico (pb), cuya utilidad es medir la
velocidad de la bala de acuerdo al ángulo que forma una tabla suspendida por
una cuerda, con respecto a la horizontal, al ser elevada por el impacto del proyectil. Hay que tener en cuenta algunas consideraciones con respecto al pb:
1. El choque de la bala contra el péndulo originará, a partir de
un impulso inicial (velocidad del proyectil) un movimiento en conjunto, una vez
que la bala quede dentro de la tabla;
2. La energia tras el choque se disipa, conservando sólo la energia que movilizará el péndulo.
3. El choque es inelástico, a causa de que la bala queda
incorporada dentro del péndulo (tabla).
En un primer momento, ocurre el choque de la bala contra el
péndulo, originando el conjunto bala-péndulo, que generará un movimiento
pendular. Se expresa
m x v + M x 0 = (m +M)V
Donde
m = masa del proyectil
v = velocidad del proyectil
M = masa de la tabla
V = velocidad posterior al choque
(El “0” que multiplica a M es porque el péndulo en principio está
en reposo).
½ (m + M) x v2 = (m + M) x g.R (1- cos θ)
Tenemos los datos:
m = 15,2 gr = 0,0152 Kg
v = 409,4 m/s
M = 2,3 Kg
R = 3,3 m
Cos θ = 1 – [ m² x v² / 2(M +m)² x g x R]
Cos θ = 1 – [ 0,0152² x 409,4² / 2(2,3 Kg +0,0152 Kg)² x 9,8 x 3,3 m]
Cosθ = 1 – 0,1117
Cosθ = 0,8883
θ = ArcCos 0,8883
θ = 27,34°