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Respuesta:
Efecto de la resistencia del aire en la caída de los cuerpos
Al ser la densidad del aire pequeña, podemos despreciar el empuje frente al peso del cuerpo. La ecuación del movimiento de un cuerpo esférico de radio R y masa m es
mdvdt=mg−0.2ρfπR2v2
Se ha tomado la dirección positiva hacia abajo
A medida que el cuerpo cae, se incrementa la velocidad, la fuerza de rozamiento crece hasta que se iguala al peso. El cuerpo se mueve con velocidad constante denominada velocidad límite vT
v2T=mg0.2ρfπR2
La ecuación del movimiento se escribe
dvdt=g(1−v2v2T)
Integramos la ecuación diferencial con la condición inicial siguiente: en el instante t=0, la velocidad del cuerpo es v0.
∫v0vdv1−v2/v2T=g∫0tdt∫v0v(121−v/vT+121+v/vT)dv=gtvT2ln1+v/vT1−v/vT∣∣vv0=gt1+v/vT1−v/vT=1+v0/vT1−v0/vTexp(2gt/vT)1+v/vT1−v/vT=exp(2gt/vT+2α)v=vTexp(gt/vT+α)−exp(−gt/vT−α)exp(gt/vT+α)+exp(−gt/vT−α)v=vTtanh(gt/vT+α)exp(2α)=1+v0/vT1−v0/vTv0vT=tanhαv=vTtanh((gtvT)+tanh−1(v0vT))
Integramos de nuevo para calcular la posición del cuerpo que cae en función del tiempo, sabiendo que en el instante t=0, parte del origen x=0.
x=∫0tv⋅dt=∫0tvTtanh((gtvT)+tanh−1(v0vT))⋅dt=∫tanhu⋅du=lncoshu+Cx=v2Tglncosh((gtvT)+tanh−1(v0vT))cosh(tanh−1(v0vT))cosh(u+α)coshα=exp(u+α)−exp(−u−α)exp(α)−exp(−α)=exp(u)⋅exp(2α)−exp(−u)+exp(u)−exp(−u)⋅exp(−2α)exp(2α)−exp(−2α)==exp(u)1+v0/vT1−v0/vT−exp(−u)+exp(u)−exp(−u)1−v0/vT1+v0/vT1+v0/vT1−v0/vT−1v0/vT1+v0/vT=(exp(u)−exp(−u))+v0vT(exp(u)+exp(−u))2v0vT=v0vTsinh(u)+cosh(u)x=v2Tgln(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))
Aproximaciones
Desarrollo en serie de la función x(t)
x(t)≈x(0)+dxdt∣∣t=0t+12!d2xdt2∣∣t=0t2+13!d3xdt3∣∣t=0t3+14!d4xdt4∣∣t=0t4+...x=v2Tgln(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))dxdt=v2Tggv0v2Tcosh(gtvT)+gvTsinh(gtvT)v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT)=vTv0vTcosh(gtvT)+sinh(gtvT)v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT)d2xdt2=g(1−v20v2T)(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))2d3xdt3=−2g2vT(1−v20v2T)v0vTcosh(gtvT)+sinh(gtvT)(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))3d4xdt4=−2g3v2T(1−v20v2T)1−2sinh2(gtvT)−4v0vTsinh(gtvT)cosh(gtvT)−v20v2T(1+2cosh2(gtvT))(v0vTsinh(gtvT)+cosh(gtvT))4x(t)≈v0t+12g(1−v20v2T)t2−g2v03v2T(1−v20v2T)t3−g312v2T(1+3v40v4T−4v20v2T)t4+...
Cuando el cuerpo se deja caer, v0=0, parte del reposo
Explicación:
Respuesta:
En ausencia de la resistencia del aire, todos los objetos que se dejen caer cerca de la superficie de la Tierra caen hacia ésta con la misma aceleración constante bajo la influencia de la gravedad de la Tierra.
:')