Question

Porfavor ayuda

1. Si: X^x = 3
Calcular: R=X^x^x+1​

Answer 1

Respuesta:

R=27

Explicación paso a paso:

Sabemos que:

${x}^{ x} = 3$

Si sacamos logaritmo natural en ambos lados, así conservamos la expresión igual pero nos ayuda muchísimo.

Entonces tenemos:

$ln( {x}^{x} ) = ln(3)$

Propiedad de logaritmos, el exponente del argumento lo podemos bajar a multiplicar:

$x ln(x) = ln(3)$

Dejemos ahí la expresión por ahora, vamos a la siguiente:

${x}^{ {x}^{x + 1} } = r$

Si la expresión le sacamos logaritmo, pero a la vez la ponemos en el exponente de la letra e(euler). Esto se cancela entre sí. Teniendo:

${e}^{ ln(r) } = {e}^{ ln( {x}^{ {x}^{x + 1} } ) }$

Una propiedad de los logaritmos es que:

${a}^{ log_{a}(x) } = x$

Es decir si tenemos una base a y la elevamos a un exponente con logaritmo de base a, se pueden cancelar entre sí. La base del logaritmo natural es el número de euler, por lo que se cancelan entre sí. Teniendo:

$r = {e}^{ { ln(x}^{ {x}^{x + 1} } )}$

Ahora volviendo a usar la propiedad de los logaritmos de bajar el exponente a multiplicar, tenemos:

$r = {e}^{ {x}^{x + 1} ln(x) }$

Sabemos que:

${( {a}^{m} )}^{n} = {a}^{m \times n}$

Podemos hacer lo mismo pero inverso, para beneficio de nosotros vamos a escribir la expresión igual, pero el exponente a multiplicar lo pondremos como el ln x.

$r = {({e}^{ {x}^{x + 1} } )}^{ ln(x) }$

Regresando a la expresion original, vemos que tenemos la expresion Ln(x). si la despejamos, tenemos:

$ln(x) = \frac{ ln(3) }{x}$

Y sustituyendo en la anterior, tenemos:

$r = {( {e}^{ {x}^{x + 1} } )}^{ \frac{ ln(3) }{x} }$

Usamos la misma propiedad de los exponentes que usamos anteriormente:

$r = {e}^{ {x}^{x + 1} \times \frac{ ln(3) }{x} }$

Se ve compleja, pero reduciendola nos dará la respuesta... Enfoquemonos en simplificar el exponente:

${x}^{x + 1} \times \frac{ ln(3) }{x}$

Propiedad de los exponentes:

${a}^{m + n} = {a}^{m} \times {a}^{n}$

Usando esa expresión:

$( {x}^{x} )( {x}^{1} )( \frac{ ln(3) }{x} ) \\ ( {x}^{x} )( \frac{x ln(3) }{x} ) \\ ( {x}^{x} )( ln(3) )$

Ahora observa que tenemos X^X, Y sabemos que eso es igual a 3

$(3)( ln(3))$

Ahora reescribiendolo en el exponente:

$r = {e}^{3 ln(3) }$

Usando de nuevo la expresión de la potencia en multiplicación:

$r = {( {e}^{ ln(3) } )}^{3}$

Como mencionamos antes el número de Euler y el logaritmo natural se cancelan entre sí. Teniendo al final:

$r = {(3)}^{3} \\ r = 27$

Y ese es el resultado :)