Question

Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas f(x)=x^2+3 y g(x)=x+5.

Answer 1

El área de la región comprendida entre las curvas f(x) y g(x) es 4.

Para calcular el área entre dos curvas, simplemente hay que hallar el área comprendida bajo la curva superior y se le resta el área comprendida bajo la curva inferior.

En la imagen adjunta podemos apreciar cuál curva se encuentra arriba y cuál curva se encuentra abajo. La curva g(x) que está de color rojo se encuentra en la parte superior y la curva f(x) que está de color negro se encuentra en la parte de abajo. Determinamos los puntos en x donde se intersecan.

$\left \{ {{y=x^{2}+3} \atop {y=x+5}} \right.$

Igualamos las funciones:

$x^{2}-x-2$ = 0

Mediante la fórmula de la resolvente, podemos hallar los puntos de intersección:

x = $\frac{\sqrt{b^{2}-4*a*c} }{2*a}$

x1 = -1

x2 = 2

Podemos corroborarlo al ver en la gráfica que efectivamente en esos puntos se intersecan las gráficas.

Ahora, calculamos el área bajo las gráficas:

$\int\limits^2_1 {g(x)-f(x)} \, dx$

Por propiedades de la integración podemos separar las integrales

$\int\limits^2_1 {g(x)} \, dx$ - $\int\limits^2_1 {f(x)} \, dx$

$\int\limits^2_1 {x + 5} \, dx$ - $\int\limits^2_1 {x^{2}+3} \, dx$

($\frac{x^{2} }{2}+5x$) [-1,2] - ($\frac{x^{3} }{3}+3x$) [-1,2]

[($\frac{2^{2} }{2}+5*2$) - ($\frac{(-1)^{2} }{2}+5*(-1)$)] - [($\frac{2^{3} }{3}+3*2$) - ($\frac{(-1)^{3} }{3}+3*(-1)$)]

[12 - (-4)] - [$\frac{26}{3}$ - ($\frac{-10}{3}$)]

16 - 12 = 4

El área entre las curvas es de 4.