Question

ayuda, el tema es derivadas

Answer 1

Primero, vamos a hallar una fórmula para el área que abarcan ambos jardines.

Empecemos con el Jardín A. El área de este jardín es:

(5a).(3b) - (a).(2b) = 15ab - 2ab = 13ab

Para calcular el área del jardín B, podemos dividir el jardín en varios rectángulos, hallar una expresión para el área de cada uno, y luego sumar las expresiones obtenidas.

Entonces, el área del jardín B será:

(3a).(2b) + (2a).(b) + (a).(3b) = 6ab +2ab + 3ab = 11ab

Luego, el área que abarcan los jardines es:

A = 13ab + 11ab

A = 24ab (*)

Ahora, necesitamos que la fórmula para el área quede en términos de una sola variable. Para ello, vamos a utilizar la información que nos da el problema.

Nos dicen que para cercar los jardines, se emplearán 72m de cerca. Esto significa que el perímetro de estos jardines debe ser 72:

(3b + 5a + b +4a) + (2b + 6a + 3b + a) = 72

16a + 9b = 72

Al despejar b de la anterior ecuación, se tiene que:

$b = 8 - \frac{16}{9} a$

Reemplazando en (*), obtenemos:

$A(a) = 24a(8 - \frac{16}{9} a) \\ \\ A(a) = 192a - \frac{128}{3}{a}^{2}$

Listo. Ya tenemos una fórmula para el área. Ahora, derivamos:

$A'(a) = 192 - \frac{256}{3} a$

A continuación, hallamos los puntos críticos, es decir, los puntos donde la derivada es 0:

$192 - \frac{256}{3} a = 0 \\ \\ \frac{256}{3} a = 192 \\ \\ 256a = 576 \\ \\ a = \frac{576}{256} \\ \\ a = \frac{9}{4}$

Para verificar que este punto crítico es un máximo, podemos usar el criterio de la primera ó segunda derivada. En este caso, usaré el de la segunda derivada:

$A''(a)= - \frac{256}{3} \\ \\ A''( \frac{9}{4} ) = - \frac{256}{3}$

Como A''(9/4) es negativa, entonces a = 9/4 es un máximo, y, por tanto, maximiza el área de los jardines.

Recordemos que:

$b = 8 - \frac{16}{9} a$

Por tanto,

$b = 8 - \frac{16}{9} ( \frac{9}{4} ) \\ \\ b = 8 - \frac{144}{36} \\ \\ b = 8 - 4 \\ \\ b = 4$

Finalmente, reemplazamos a y b en (*):

$A = 24( \frac{9}{4} )(4) \\ \\ A = 216$

Respuesta.

El área máxima que abarcan los jardines es:

D) 216 m²